数学 - Python - 代数学 - 因数分解と分数式 - 等式、展開

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代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(因数分解と分数式)、練習問題の問6の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} z = 1 - x - y \\ x y + y z + z x = x y z \\ x y + y (1 - x - y) + (1 - x - y) x = x y (1 - x - y) \\ y - x y - y^{2} + x - x^{2} - x y + x^{2} y + x y^{2} = 0 \\ (y - 1) x^{2} + (y^{2} - 2 y + 1) x - (y^{2} - y) = 0 \\ (y - 1) x^{2} + {(y - 1)}^{2} x - y (y - 1) = 0 \\ (y - 1) (x^{2} + (y - 1) x - y) = 0 \\ (y - 1) (x - 1) (x + y) = 0 \end{array}$
  
  よって、
  
  $x = 1$
  
  または
  
  $y = 1$
  
  または、
  
  $\begin{array}{l} x + y = 0 \\ z = 1 - x - y \\ = 1 - (x + y) \\ = 1 \end{array}$
  
  よって、 x、 y 、 z のうち少なくとも1つは1に等しい。
  
  （証明終）
2. $\begin{array}{l} (x + y) (y + z) (z + x) \\ = (x + y) (y + (1 - x - y)) (1 - x - y + x) \\ = (x + y) (1 - x) (1 - y) \end{array}$
  
  （1）より
  
  $(x + y) (y + z) (z + x) = 0$

#!/usr/bin/env python3 from sympy import symbols, pprint, solve print('6.') x, y, z = symbols('x, y, z', real=True) exprs = [x + y + z - 1, 1 / x + 1 / y + 1 / z - 1] print('(1)') s = solve(exprs) pprint(s) print('(2)') expr = (x + y) * (y + z) * (z + x) for d in s: pprint(expr.subs(d))

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2020年1月24日金曜日

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