数学 - 解析学 - 積分法 - 不定積分、広義積分 - 有理関数、整式、次数、ある積分が収束するための必要十分条件

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.3(不定積分、広義積分)、問題8の解答を求めてみる。

8. 
   
   $\begin{array}{l}P\left(x\right)=\sum _{k=0}^m{a}_k{x}^k\\ Q\left(x\right)=\sum _{k=0}^n{b}_k{x}^k\\ m+2\le n\end{array}$

   とする。

   このとき、

   $\begin{array}{l}{x}^{2}R\left(x\right)\\ =\frac{x^{2}P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\end{array}$

   について、分子の次数は分母の次数 以下なので、 十分大きい x に対して

   $\begin{array}{l}{x}^{2}R\left(x\right)\\ =\frac{\sum _{k=0}^m{a}_k{x}^{k+2}}{\sum _{k=0}^n{b}_k{x}^k}\\ =\frac{\sum _{k=0}^{m}a{x}^{k+2-n}}{b_m+\sum _{k=0}^{n-1}{b}_k{x}^{k-n}}\\ k+2-n\le 0\\ k-m\le -1\end{array}$

   ゆえに、 定理5の(b)により、

   ${\int }_a^{\infty }R\left(x\right)\mathrm{dx}$

   となるので、

   $\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{2}R\left(x\right)$

   は有限の値となる。

   また、連続でもあり、 十分大きな x 対してある正の整数Mが存在し、

   $x^{2}R\left(x\right)\le M$

   よって、 定理5の (b)により、

   ${\int }_a^{\infty }R\left(x\right)\mathrm{dx}$

   は絶対収束する。

   ゆえに、

   ${\int }_a^{\infty }R\left(x\right)\mathrm{dx}$

   は収束する。

   逆に、

   ${\int }_a^{\infty }R\left(x\right)\mathrm{dx}$

   は収束するとする。

   $\begin{array}{l}m+2>n\\ m+1\ge n\end{array}$

   と仮定する。

   このとき、

   $\begin{array}{l}xR\left(x\right)\\ =\frac{xP\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\\ =\frac{\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^{k+1}}{\sum _{k=0}^n{b}_k{x}^k}\end{array}$

   十分大きな x に対して、

   $\begin{array}{l}xR\left(x\right)\\ =\frac{\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^{k+1-n}}{b_k+\sum _{k=0}^{n-1}{b}_k{x}^{k-n}}\\ k+1-n\ge 0\\ k-n<0\end{array}$

   よって、

   $\underset{x\to \infty }{\lim }xR\left(x\right)\ne 0$

   である。

   ゆえに、ある正の定数 M が存在して、 十分大きな x に対して、

   $x\left|R\left(x\right)\right|\ge M$

   すなわち

   $\begin{array}{l}xR\left(x\right)\ge M\\ R\left(x\right)\ge \frac{M}{x}\end{array}$

   または

   $R\left(x\right)\le -\frac{M}{x}$

   が成り立つ。

   よって、

   ${\int }_a^{\infty }R\left(x\right)\ge M{\int }_a^{\infty }\frac{1}{x}\mathrm{dx}$

   または

   ${\int }_a^{\infty }R\left(x\right)\le -M{\int }_a^{\infty }\frac{1}{x}\mathrm{dx}$

   が成り立つ。

   ここで、

   ${\int }_a^{\infty }\frac{1}{x}\mathrm{dx}=\infty$

   なので、

   ${\int }_a^{\infty }R\left(x\right)$

   は収束しない。

   よって矛盾。

   ゆえに、

   $m+2\le n$

   である。

   以上より、 問題の積分

   ${\int }_a^{+\infty }R\left(x\right)\mathrm{dx}$

   が収束するため の必要十分条件は、

   $m+2\le n$

   である。

   （証明終）