数学 - Python - 線形代数学 - R^nにおけるベクトル - 直線と平面 - 3次元空間、平面と点の間の距離

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の1章(R^nにおけるベクトル)、5(直線と平面)、練習問題20の解答を求めてみる。

20. 
    

    平面

    $3x+y-5z=2$

    に垂直なベクトル（法線ベクトル）は

    $N=\left(3,1,-5\right)$

    点（1，1，2） を通り N の向きを持つ直線のパラメーター方程式は、

    $\begin{array}{l}\left(x,y,z\right)\\ =\left(1,1,2\right)+t\left(3,1,-5\right)\\ =\left(1+3t,1+t,2-5t\right)\end{array}$

    この直線と平面との交点は、

    $\begin{array}{l}3\left(1+3t\right)+\left(1+t\right)-5\left(2-5t\right)=2\\ 3+9t+1+t-10+25t=2\\ 35t=8\\ t=\frac{8}{35}\\ \left(1+3·\frac{8}{35},1+\frac{8}{35},2-5·\frac{8}{35}\right)\\ =\left(\frac{59}{35},\frac{43}{35},\frac{30}{35}\right)\end{array}$

    よって、 求める点と平面の距離は、

    $\begin{array}{l}\sqrt{{\left(\frac{59}{35}-1\right)}^2+{\left(\frac{43}{35}-1\right)}^2+{\left(\frac{30}{35}-2\right)}^2}\\ =\frac{\sqrt{24^2+8^2+40^2}}{35}\\ =\frac{\sqrt{2240}}{35}\\ =\frac{8\sqrt{35}}{35}\\ =\frac{8}{\sqrt{35}}\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, sqrt
from sympy.plotting import plot3d, plot3d_parametric_line

print('20.')


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(sqrt(2240) / 35, 8 / sqrt(35))
        self.assertEqual(abs(3 * 1 + 1 - 5 * 2 - 2) /
                         sqrt(3 ** 2 + 1 ** 2 + 5 ** 2), 8 / sqrt(35))


x, y, t = symbols('x, y, t')
p = plot3d_parametric_line(1 + 3 * t, 1 + t, 2 - 5 * t, show=False)
p1 = plot3d((3 * x + y - 2) / 5, show=False)
p.append(p1[0])
p.xlabel = x
p.ylabel = y
p.show()
p.save('sample20.png')


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample20.py -v
20.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.003s

OK
%