数学 - Python - 解析学 - 積分法 - 不定積分、広義積分 - 無限級数、累乗、リーマン和の極限としての積分

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.3(不定積分、広義積分)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(\sum _{k=1}^n{k}^{\alpha }\right)}^{\beta +1}}{{\left(\sum _{k=1}^n{k}^{\beta }\right)}^{\alpha +1}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}n{k}^{\alpha }\right)}^{\beta +1}}{{\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}n{k}^{\beta }\right)}^{\alpha +1}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(\frac{1}{n}·n^{\alpha +1}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^{\alpha }\right)}^{\beta +1}}{{\left(\frac{1}{n}·n^{\beta +1}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^{\beta }\right)}^{\alpha +1}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^{\alpha }\right)}^{\beta +1}}{{\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^{\beta }\right)}^{\alpha +1}}\\ =\frac{{\left({\int }_0^1{x}^{\alpha }\mathrm{dy}\right)}^{\beta +1}}{{\left({\int }_0^1{x}^{\beta }\mathrm{dx}\right)}^{\alpha +1}}\\ =\frac{{\left(\frac{1}{\alpha +1}\right)}^{\beta +1}}{{\left(\frac{1}{\beta +1}\right)}^{\alpha +1}}\\ =\frac{{\left(\beta +1\right)}^{\alpha +1}}{{\left(\alpha +1\right)}^{\beta +1}}\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Rational, plot

print('3.')

alpha = Rational(1, 2)
beta = Rational(1, 3)


def f(n):
    return sum([k ** alpha for k in range(1, n + 1)]) ** (beta + 1) / sum([k ** beta for k in range(1, n + 1)]) ** (alpha + 1)


ys = [f(n) for n in range(1, 10)]
p = plot((beta + 1) ** (alpha + 1) / (alpha + 1) ** (beta + 1),
         *ys,
         show=False,
         legend=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

for y, color in zip(ys, colors[1:]):
    print(float(y), color)
p.show()
p.save('sample3.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample3.py
3.
1.0 green
0.9532957994611398 blue
0.9350998943140988 brown
0.9254455890669422 orange
0.9194925383887663 purple
0.9154724465993183 pink
0.912585744016701 gray
0.9104186897421439 skyblue
0.9087360661929579 yellow
%