2019年12月24日火曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(積分の計算)、8.1(不定積分の計算)、問題2の解答を求めてみる。


  1. P x Q x = k = 1 n A k x - a k

    とおくと、

    P x = k = 1 n A k x - a 1 x - a k - 1 x - a k + 1 x - a n P a k = A k a k - a 1 a k - a k - 1 a k - a k + 1 . . . a k - a n = A k Q ' a k A k = P a k Q ' a k = α k

    よって、

    P x Q x dx = k = 1 n α k x - a k dx = k = 1 n α k log x - a k α k = k = 1 n log x - a k α k log k = 1 - n x - a k α k = log k = 1 n x - a k α k

    (証明終)

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral
import random
print('2.')

x = symbols('x')
n = 2
p = sum([symbols(f'b{k}', real=True) * x ** k for k in range(n)])
q = 1
for k in range(n + 1):
    q *= (x - k)

f = p / q
I = Integral(f, x)

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample2.py
2.
⌠                     
⎮     b₀ + b₁⋅x       
⎮ ───────────────── dx
⎮ x⋅(x - 2)⋅(x - 1)   
⌡                     

b₀⋅log(x)                          (b₀ + 2⋅b₁)⋅log(x - 2)
───────── - (b₀ + b₁)⋅log(x - 1) + ──────────────────────
    2                                        2           

%

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