2019年12月6日金曜日

学習環境

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、演習問題Ⅲ、問15.の解答を求めてみる。


  1. 関数 f を

    f x = α p p + x q q - α x x 0 p > 0 , q > 0 , 1 p + 1 q = 1 , α 0

    とする。

    このとき、

    q > 1 f ' x = x q - 1 - α f ' x = 0 x = α 1 q - 1

    よって、 関数 f は

    x = α 1 q - 1

    のとき最小値をとる。

    また、

    1 p + 1 q = 1 p + q = p q q - 1 = q p q q - 1 = p

    よって、 関数 f の最小値は、

    α p p + α p q - α p = α p 1 p + 1 q - 1 = 0

    よって、

    f x 0

    ゆえに、 不等式、

    α β α p p + β q q - α β

    が成り立つ。

    (証明終)

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Derivative, Rational, Derivative

print('15.')

x = symbols('x')
alpha = 2
beta = 3
q = 5
p = q / (q - 1)
f = Rational(alpha ** p, p) + x ** q / q - alpha * x
d = Derivative(f, x, 1)

for o in [p, q, d, d.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, d.doit(),
         (x, 0, 5),
         ylim=(-1, 4),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample15.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample15.py
15.
1.25

5

  ⎛ 5                         ⎞
d ⎜x          5355712719992597⎟
──⎜── - 2⋅x + ────────────────⎟
dx⎝5          2814749767106560⎠

 4    
x  - 2

%

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