数学 - Pytho - 微分積分学 - 平均値の定理 - 狭義単調増加、逆関数、定義域、導関数

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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、演習問題Ⅲ、問16.の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} f (x) = x^{2} + x + 1 \\ f' (x) = 2 x + 1 \\ f' (x) = 0 \\ x = - \frac{1}{2} \\ x > - \frac{1}{2} \\ f' (x) > 0 \end{array}$
  よって、関数 f は
  $x \geq - \frac{1}{2}$
  で狭義単調増加である。
  逆関数を求める。
  $\begin{array}{l} f (x) = x^{2} + x + 1 \\ = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \\ \sqrt{f (x) - \frac{3}{4}} = x + \frac{1}{2} \\ x = \sqrt{f (x) - \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \\ f^{- 1} (x) = \sqrt{x - \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \\ = \frac{\sqrt{4 x - 3} - 1}{2} \end{array}$
2. 逆関数の定義域。
  $\begin{array}{l} f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} \leq x \end{array}$
3. 逆関数の導関数.
  $\begin{array}{l} \frac{d}{dx} f^{- 1} (x) \\ = \frac{1}{2} {(x - \frac{3}{4})}^{- \frac{1}{2}} \\ = \frac{1}{2 \sqrt{x - \frac{3}{4}}} \\ = \frac{1}{\sqrt{4 x - 3}} \\ \frac{d}{dx} f^{- 1} (x) \\ = \frac{1}{2 \frac{\sqrt{4 x - 3} - 1}{2} + 1} \\ = \frac{1}{\sqrt{4 x - 3}} \end{array}$
  
  直接導関数を求めたものと、逆関数の微分法を利用したものが一致してることを確認できた

#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, plot, solve, Derivative, Rational, sqrt print('16.') x = symbols('x', real=True) f = x ** 2 + x + 1 g = (sqrt(4 * x - 3) - 1) / 2 d = Derivative(g, x, 1) for o in [d, d.doit()]: pprint(o) print() p = plot(f, g, x, (x, Rational(3, 4), Rational(3, 4) + 20), ylim=(0, 20), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample16.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample16.py 16. ⎛ _________ ⎞ d ⎜╲╱ 4⋅x - 3 1⎟ ──⎜─────────── - ─⎟ dx⎝ 2 2⎠ 1 ─────────── _________ ╲╱ 4⋅x - 3 %

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2019年12月8日日曜日

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