数学 - 線形代数学 - R^nにおけるベクトル - 直線と平面 - 4次元、1点を通りベクトルに平行な直線、パラメーター方程式、距離、最小値、垂直、内積、零

ラング線形代数学(上)
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の1章(R^nにおけるベクトル)、5(直線と平面)、練習問題11の解答を求めてみる。

11. 
    
    1. 
       

       直線 L のパラメーター方程式。

       $\begin{array}{l}X=\left(1,-1,3,1\right)+t\left(1,-3,2,1\right)\\ =\left(1+t,-1-3t,3+2t,1+t\right)\end{array}$

       求める距離 関数。

       $f\left(t\right)=\sqrt{t^2+{\left(-2-3t\right)}^2+{\left(4+2t\right)}^2+{\left(-1+t\right)}^2}$
    2. 
       

       距離の2乗が最小値となる t を求める。

       $\begin{array}{l}g\left(t\right)=f{\left(t\right)}^2\\ =t^2+{\left(3t+2\right)}^2+4{\left(t+2\right)}^2+{\left(t-1\right)}^2\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}g\left(t\right)\\ =2t+2\left(3t+2\right)3+8\left(t+2\right)+2\left(t-1\right)\\ =2\left(\left(1+9+4+1\right)t+6+8-1\right)\\ =2\left(15t+13\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}g\left(t\right)=0\\ t=-\frac{13}{15}\end{array}$

       よって、距離が最小値となるような点はただ1つ存在し、この最小値は、

       $\begin{array}{l}f\left(-\frac{13}{15}\right)\\ =\sqrt{{\left(\frac{13}{15}\right)}^2+{\left(\frac{9}{15}\right)}^2+4·{\left(\frac{17}{15}\right)}^2+{\left(\frac{28}{15}\right)}^2}\\ =\sqrt{\frac{169+81+1156+784}{15^2}}\\ =\sqrt{\frac{2190}{15^2}}\\ =\sqrt{\frac{146}{15}}\end{array}$
    3. 
       
       $\begin{array}{l}\left(X_0-Q\right)·A\\ =\frac{1}{15}\left(-13,9,34,-28\right)·\left(1,-3,2,1\right)\\ =\frac{1}{15}\left(-13-27+68-28\right)\\ =0\end{array}$

       よって ベクトル

       $X_0-Q$

       は ベクトル A に平行な直線と垂直である。

       （証明終）