数学 - 線形代数学 - R^nにおけるベクトル - 直線と平面 - 4次元、直線、パラメーター方程式、距離、最小値、垂直、内積、零

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の1章(R^nにおけるベクトル)、5(直線と平面)、練習問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{l}L=\left(1,2,3,4\right)+t\left(1,1,1,1\right)\\ =\left(1+t,2+t,3+t,4+t\right)\\ \left|QX\right|\\ =\sqrt{{\left(t-3\right)}^2+{\left(t-1\right)}^2+{\left(t+1\right)}^2+{\left(t+3\right)}^2}\\ =\sqrt{4t^2+20}\\ =2\sqrt{t^2+5}\end{array}$
    2. 
       
       $\begin{array}{l}t=0\\ X_0=\left(1,2,3,4\right)\end{array}$

       のとき、距離は最小値をとり、その値は

       $2\sqrt{5}$
    3. 
       
       $\begin{array}{l}\left(X_0-Q\right)·A\\ \left(\left(1,23,4\right)-\left(4,3,2,1\right)\right)·\left(1,1,1,1\right)\\ =\left(-3,-1,1,3\right)·\left(1,1,1,1\right)\\ =0\end{array}$

       よって、ベクトル

       $X_0-Q$

       は直線に垂直である。

       （証明終）