数学 - 線形代数学 - ベクトル空間 - 定義 - 体、部分体の上のベクトル空間

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題6の解答を求めてみる。

6. 
   

   u、 v、 w を L の任意 の元とする。

   また、 a、 b を K の任意の元とする。

   このとき、

   $\left(u+v\right)+w=u+\left(v+w\right)$

   よって、加法、について分配律が成り立つ。

   $\begin{array}{l}0\in L\\ 0+u=u+0=u\end{array}$

   となり、 加法について零ベクトルが存在する。

   $\begin{array}{l}-1\in K\\ u+\left(-1\right)u\\ =u-u\\ =0\end{array}$

   よって加法について逆元が存在する。

   $u+v=v+u$

   よって加法について可換律が成り立つ。

   $u+v\in L$

   よって加法について閉じている。

   以上、すべて体ということにより。

   同様に、 スカラー倍についても、

   $\begin{array}{l}au\in L\\ a\left(u+v\right)=au+av\\ \left(a+b\right)v=av+bv\\ \left(ab\right)v=a\left(bv\right)\\ 1\in K\\ 1·v=v\end{array}$

   よって、 L は K の上のベクトル空間である。

   （証明終）