数学 - 線形代数学 - ベクトル空間 - 定義 - 体、有理数、複素数、和と積

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題8の解答を求めてみる。

8. 
   

   K の任意の元 x、 y を

   $\begin{array}{l}x=a+bi\\ y=c+di\\ a,b,c,d\in \text{ℚ}\end{array}$

   とおく。

   $\begin{array}{l}x+y\\ =\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i\\ a+c,b+d\in \text{ℚ}\\ xy\\ =\left(a+bi\right)\left(c+di\right)\\ =\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i\\ ac-bd,ad+bc\in \text{ℚ}\end{array}$

   よって、 加法と乗法について 閉じている。

   $\begin{array}{l}\left(a+bi\right)+\left(-a-bi\right)=0\\ -a,-b\in \text{ℚ}\\ x\ne 0\\ \left(a+bi\right)·\left(\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\right)\\ =\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}\\ =1\\ \frac{a}{a^2+b^2},-\frac{b}{a^2+b^2}\in \text{ℚ}\end{array}$

   よって、 加法、乗法の逆元は K の元である。

   $\begin{array}{l}x=0+0i=0\\ y=1+0i=1\\ 0,1\in \text{ℚ}\end{array}$

   よって、加法、乗法の単元は K の元である。

   ゆえに K は体である。

   （証明終）