2019年12月29日日曜日

学習環境

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題7の解答を求めてみる。



    1. K の任意の 元 x、 y を

      x = a + b 2 y = c + d 2 a , b , c , d

      とおくと、

      x + y = a + c + b + d 2 a + c , b + d Q x y = a c + 2 b d + a d + b c 2 a c + 2 b d , a d + b c

      よって、和と積について閉じている。


    2. - x = - a - b 2 - a , - b a + b 2 a a 2 - 2 b 2 + - b a 2 - 2 b 2 2 = a a - b 2 - b a - b 2 2 = 1 a a 2 - 2 b 2 , - b b 2 - 2 b 2

      よって、 加法、乗法の逆元が存在する。


    3. 0 = 0 + 0 2 1 = 1 + 0 2 0 , 1 Q

      よって、 0と1 は K の元である。

      ゆえに、 K は体である。

      (証明終)

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