2019年11月2日土曜日

学習環境

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、5.(平均値の定理)、問2.の解答を求めてみる。


  1. f b - f a = c g b - g a

    を満たす実数 c をとる。

    φ x = f x - f a - c g x - g a

    という関数を考える。

    この関数は、 問題の仮定より閉区間

    a , b

    で連続で、開区間

    a , b

    で微分可能。

    また、

    φ a = f a - f a - c g a - g a = 0 φ b = f b - f a - c g b - g b = 0

    よって、 ロルの定理(Rolle の定理)より、

    φ ' ξ = 0 a < ξ < b

    を満たす実数が存在する。

    また、

    φ ' x = f ' x - c g ' x

    なので、

    φ ' ξ = f ' ξ - c g ' ξ = 0 c = f ' ξ g ' ξ

    ゆえに、

    f b - f a = f ' ξ g ξ g b - g a a < ξ < b

    を満たす実数が存在する。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Derivative, solve

print('2.')

x, c = symbols('x, c')
f = x ** 2
g = x ** 3
a = 2
b = 3
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()
g1 = Derivative(g, x, 1).doit()
eq = (f.subs({x: b}) - f.subs({x: a})) - f1.subs({x: c}) / \
    g1.subs({x: c}) * (g.subs({x: b}) - g.subs({x: a}))

pprint(solve(eq, c))
c0 = solve(eq, c)[0]
h = f - f.subs({x: a}) - f1.subs({x: c0}) / \
    g1.subs({x: c0}) * (g - g.subs({x: a}))
p = plot(f, g, h,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample2.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample2.py
2.
⎡38⎤
⎢──⎥
⎣15⎦
%

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