数学 - 線形代数学 - R^nにおけるベクトル - ベクトルのノルム - ノルムによる距離の定義、可換律、三角不等式

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の1章(R^nにおけるベクトル)、4(ベクトルのノルム)、練習問題11の解答を求めてみる。

11. 
    
    $\begin{array}{l}d\left(A,B\right)\\ =∥B-A∥\\ =\sqrt{\left(B-A\right)·\left(B-A\right)}\\ =\sqrt{B·B-B·A-A·B+A·A}\\ =\sqrt{\left(A-B\right)·\left(A-B\right)}\\ =∥A-B∥\\ =d\left(B,A\right)\end{array}$

    よって可換である。

    また、

    $\begin{array}{l}d\left(A,B\right)\\ =∥B-A∥\\ =∥\left(B-C\right)+\left(C-A\right)∥\\ \le ∥B-C∥+∥C-A∥\\ =d\left(C,B\right)+d\left(A,C\right)\\ =d\left(A,C\right)+d\left(C,B\right)\\ =d\left(A,C\right)+d\left(B,C\right)\end{array}$

    （証明終）