数学 - 円の中にひそむ関数 - 三角関数 - 加法定理 - 三角関数の諸公式の正接 - 正弦と余弦と正接、等式の証明、3倍角、半角、式の変形

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新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.2(加法定理)、三角関数の諸公式の正接の問28の解答を求めてみる。

28. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{l}{\left(\frac{1-\tan \theta }{1+\tan \theta }\right)}^2\\ ={\left(\frac{1-\frac{\sin \theta }{\cos \theta }}{1+\frac{\sin \theta }{\cos \theta }}\right)}^2\\ ={\left(\frac{\cos \theta -\sin \theta }{\cos \theta +\sin \theta }\right)}^2\\ =\frac{{\cos }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta +{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\sin }^2\theta }\\ =\frac{1-\sin \left(2\theta \right)}{1+\sin \left(2\theta \right)}\end{array}$
    2. 
       
       $\begin{array}{l}\left(\cos \theta -\sin \theta \right)\left(1+2\sin \left(2\theta \right)\right)\\ =\cos \theta +2\sin \left(2\theta \right)\cos \theta -\sin \theta -2\sin \theta \sin \left(2\theta \right)\\ =\cos \theta +\sin \left(2\theta +\theta \right)+\sin \left(2\theta -\theta \right)-\sin \theta +\cos \left(\theta +2\theta \right)-\cos \left(\theta -2\theta \right)\\ =\cos \theta +\sin \left(3\theta \right)+\sin \theta -\sin \theta +\cos \left(3\theta \right)-\cos \theta \\ =\cos \left(3\theta \right)+\sin \left(3\theta \right)\end{array}$
    3. 
       
       $\begin{array}{l}\tan 3\theta \\ =\tan \left(\theta +2\theta \right)\\ =\frac{\tan \theta +\tan 2\theta }{1-\tan \theta \tan 2\theta }\\ =\frac{\tan \theta +\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}{1-\left(\tan \theta \right)\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}\\ =\frac{\left(1-{\tan }^2\theta \right)\tan \theta +2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta -2{\tan }^2\theta }\\ =\frac{3\tan \theta -{\tan }^3\theta }{1-3{\tan }^2\theta }\end{array}$
    4. 
       
       $\begin{array}{l}\frac{1+\sin \theta -\cos \theta }{1+\sin \theta +\cos \theta }\\ =\frac{1+2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}-\left({\cos }^2\frac{\theta }{2}-{\sin }^2\frac{\theta }{2}\right)}{1+2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}+{\cos }^2\frac{\theta }{2}-{\sin }^2\frac{\theta }{2}}\\ \frac{}{}\frac{1+2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}+2{\sin }^2\frac{\theta }{2}-1}{1+2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}+2{\cos }^2\frac{\theta }{2}-1}\\ =\frac{\sin \frac{\theta }{2}\left(\cos \frac{\theta }{2}+\sin \frac{\theta }{2}\right)}{\cos \frac{\theta }{2}\left(\sin \frac{\theta }{2}+\cos \frac{\theta }{2}\right)}\\ =\tan \frac{\theta }{2}\end{array}$
    5. 
       
       $\begin{array}{l}\tan \frac{\theta }{2}-\tan \frac{\theta }{3}-\tan \frac{\theta }{6}\\ =\tan \left(\frac{\theta }{3}+\frac{\theta }{6}\right)-\tan \frac{\theta }{3}-\tan \frac{\theta }{6}\\ =\frac{\tan \frac{\theta }{3}+\tan \frac{\theta }{6}}{1-\tan \frac{\theta }{3}\tan \frac{\theta }{6}}-\tan \frac{\theta }{3}-\tan \frac{\theta }{6}\\ =\frac{\tan \frac{\theta }{3}+\tan \frac{\theta }{6}-\tan \frac{\theta }{3}+{\tan }^2\frac{\theta }{3}\tan \frac{\theta }{6}-\tan \frac{\theta }{6}+\tan \frac{\theta }{3}{\tan }^2\frac{\theta }{6}}{1-\tan \frac{\theta }{3}\tan \frac{\theta }{6}}\\ =\frac{\tan \frac{\theta }{3}\tan \frac{\theta }{6}\left(\tan \frac{\theta }{3}+\tan \frac{\theta }{6}\right)}{1-\tan \frac{\theta }{3}\tan \frac{\theta }{6}}\\ =\tan \left(\frac{\theta }{3}+\frac{\theta }{6}\right)\tan \frac{\theta }{3}\tan \frac{\theta }{6}\\ =\tan \frac{\theta }{2}\tan \frac{\theta }{3}\tan \frac{\theta }{6}\end{array}$