2019年11月21日木曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.2(積分の性質)、問題5の解答を求めてみる。


  1. 閉区間

    a , b

    の任意の分割

    P = x 0 , , x n

    に対して、

    F b - F a = F x n - F x 0 = i = 1 n F x i - F x i - 1

    F は微分可能なので連続関数である。
    よって、各 i に対して、平均値の定理により、

    F x i - F x i - 1 = f c i x i - x i - 1 x i - 1 < c i < x i

    を満たす

    c i i = 1 , , n

    が存在する。

    ゆえに

    F b - F a = i = 1 n f c i x i - x i - 1

    これはリーマン和であり、 f は問題の開区間で線分も能なので、

    lim d P 0 i = 1 n f c i x i - x i - 1 = lim d P 0 S P , f = a b f

    よって、

    a b f = F b - F a

    が成り立つ。

    (証明終)

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