数学 - Python - 急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数 - 対数関数の性質 - いくつかの例題および問題の補充 - 不等式、等号、相加平均、相乗平均

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新装版数学読本2 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数)、7.3(対数関数の性質)、いくつかの例題および問題の補充の問37の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{x + y}{2} \\ = \frac{x \log_{2} 2 + y \log_{2} 2}{2} \\ = \frac{\log_{2} 2^{x} + \log_{2} 2^{y}}{2} \\ = \frac{\log_{2} (2^{x} \cdot 2^{y})}{2} \\ = \log_{2} \sqrt{2^{x} \cdot 2^{y}} \end{array}$
相加平均と相乗平均の大小より、
$\frac{2^{x} + 2^{y}}{2} \geq \sqrt{2^{x} + 2^{y}}$
等号が成り立つのは、
$\begin{array}{l} 2^{x} = 2^{y} \\ x = y \end{array}$
のとき。
よって、
$\log \frac{2^{x} + 2^{y}}{2} \geq \frac{x + y}{2}$
が成り立ち、等号が成り立つのは
$x = y$
の場合。
（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, log
from sympy.plotting import plot3d

print('37.')

x, y = symbols('x, y')
f = log((2 ** x + 2 ** y) / 2, 2)
g = (x + y) / 2

p = plot3d(f, g, xlabel=x, ylabel=y, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save(f'sample37.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample37.py
37.
$

Kamimura's blog

2019年10月11日金曜日

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