数学 - Python - 急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数 - 対数関数の性質 - いくつかの例題および問題の補充 - 不等式、式の変形

新装版 数学読本2
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数)、7.3(対数関数の性質)、いくつかの例題および問題の補充の問38の解答を求めてみる。

38. 
    
    $\begin{array}{l}\left({\log }_a\frac{x}{y}{\log }_a\frac{x}{z}\right)-\left({\log }_a\sqrt{\frac{y}{z}}·{\log }_a\sqrt{\frac{z}{y}}\right)\\ =\left({\log }_{a}x-{\log }_{a}y\right)\left({\log }_{a}x-{\log }_{a}z\right)\\ -\frac{1}{4}\left({\log }_{a}y-{\log }_{a}z\right)\left({\log }_{a}z-{\log }_{a}y\right)\\ ={\left({\log }_{a}x\right)}^2-\left({\log }_{a}y+{\log }_{a}z\right)\left({\log }_{a}x\right)+\frac{1}{4}{\left({\log }_{a}y-{\log }_{a}x\right)}^2\\ ={\left({\log }_{a}x-\frac{1}{2}\left({\log }_{a}y+{\log }_{a}z\right)\right)}^2\\ \ge 0\end{array}$

    よって、問題の 不等式は成り立つ。

    等号が成り立つ のは、

    $\begin{array}{l}{\log }_{a}x=\frac{1}{2}\left({\log }_{a}y+{\log }_{a}z\right)\\ {\log }_{a}x={\log }_a\sqrt{yz}\\ x=\sqrt{yz}\end{array}$

    の 場合。

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, log, Rational, sqrt, solve
from sympy.plotting import plot3d

print('38.')

x, y, z = symbols('x, y, z', positive=True)
for a in [Rational(1, 2), 2]:
    l = log(x / y, a) * log(x / z, a)
    r = log(sqrt(y / z), a) * log(sqrt(z / y, x,), a)
    for o in [(l - r).subs({x: 4, y: 2, z: 3}) >= 0, solve(l - r)]:
        pprint(o)
        print()


p = plot3d(l.subs({z: 2}), r.subs({z: 2}),
           (x, 0.1, 10), (y, 0.1, 10), show=False)

p.show()
p.save('sample38.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample38.py
38.
True

[{x: √y⋅√z}]

True

[{x: √y⋅√z}]

%