2019年10月12日土曜日

学習環境

新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数)、7.3(対数関数の性質)、いくつかの例題および問題の補充の問38の解答を求めてみる。


  1. log a x y log a x z - log a y z · log a z y = log a x - log a y log a x - log a z - 1 4 log a y - log a z log a z - log a y = log a x 2 - log a y + log a z log a x + 1 4 log a y - log a x 2 = log a x - 1 2 log a y + log a z 2 0

    よって、問題の 不等式は成り立つ。

    等号が成り立つ のは、

    log a x = 1 2 log a y + log a z log a x = log a y z x = y z

    の 場合。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, log, Rational, sqrt, solve
from sympy.plotting import plot3d

print('38.')

x, y, z = symbols('x, y, z', positive=True)
for a in [Rational(1, 2), 2]:
    l = log(x / y, a) * log(x / z, a)
    r = log(sqrt(y / z), a) * log(sqrt(z / y, x,), a)
    for o in [(l - r).subs({x: 4, y: 2, z: 3}) >= 0, solve(l - r)]:
        pprint(o)
        print()


p = plot3d(l.subs({z: 2}), r.subs({z: 2}),
           (x, 0.1, 10), (y, 0.1, 10), show=False)

p.show()
p.save('sample38.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample38.py
38.
True

[{x: √y⋅√z}]

True

[{x: √y⋅√z}]

% 

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