数学 - Python - 急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数 - 対数関数の性質 - 常用対数 - 桁数、小数第何位か、不等式

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新装版数学読本2 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数)、7.3(対数関数の性質)、常用対数の問30の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} \log_{10} 4^{20} \\ = 20 \log_{10} 4 \\ ≒ 20 \cdot 0.6021 \\ = 12.042 \end{array}$
  よって 13桁の整数。
2. $\begin{array}{l} \log_{10} 2 0^{20} \\ = 20 \log_{10} 20 \\ = 20 (\log_{10} 10 + \log_{10} 2) \\ ≒ 20 (1 + 0.3010) \\ = 20 \cdot 1.3010 \\ = 26.020 \end{array}$
  よって27桁の整数。
3. $\begin{array}{l} \log_{10} {(\frac{2}{3})}^{50} \\ = 50 (\log_{10} 2 - \log_{10} 3) \\ ≒ 50 (0.3010 - 0.4771) \\ = 50 (- 0.1761) \\ = - 8.805 \\ = - 9 + 0.195 \end{array}$
  よって、小数第9位にはじめて0でない数字が現れる
4. $\begin{array}{l} \log_{10} 1.0 6^{n} \\ = n \log_{10} 1.06 \\ = 0.0253 n \\ \log_{10} 2 \\ ≒ 0.3010 \end{array}$
  よって、
  $0.0253 n > 0.3010$
  を満たす正の整数 n を求めればいい。
  ゆえに、
  $n = 12$
5. $\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{n} < 3^{- 20} \\ - n \log_{10} 2 < - 20 \log_{10} 3 \\ n \log_{10} 2 > 20 \log_{10} 3 \\ n > 20 \cdot \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2} \\ ≒ 20 \cdot \frac{0.4771}{0.3010} \\ = 31. \dots \end{array}$
  よって、求める最小の正の整数 n は、
  $n = 32$

#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, log, plot, Rational from sympy.solvers.inequalities import reduce_inequalities print('30.') print('(1)') n = 4 ** 20 t = 1 while n // 10 != 0: t += 1 n //= 10 print(f'{t}桁') print('(2)') n = 20 ** 20 t = 1 while n // 10 != 0: t += 1 n //= 10 print(f'{t}桁') print('(3)') print(float(Rational(2, 3) ** 50)) print('(4)') n = symbols('n', positive=True, integer=True) pprint(reduce_inequalities(1.06 ** n > 2, n)) print(float(17.1618111990764*log(2))) print('(5)') pprint(reduce_inequalities(Rational(1, 2) ** n < 3 ** -20)) print(float(21.9722457733622 / log(2)))

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample30.py 30. (1) 13桁 (2) 27桁 (3) 1.5683285454839587e-09 (4) 17.1618111990764⋅log(2) < n 11.895661045941901 (5) 21.9722457733622 ──────────────── < n log(2) 31.699250014423132 $

Kamimura's blog

2019年10月3日木曜日

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