数学 - 微分積分学 - 平均値の定理 - 上限と下限 - 閉区間、連続関数、最大値、最小値、極限

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、4.(上限と下限)、問1.の解答を求めてみる。

1. 
   

   最大値、最小値をとる x の値をそれぞれ a、 bとなる。

   $\begin{array}{l}c\le a\le c+h\\ f\left(a\right)=M\left(h\right)\\ c\le b\le c+h\\ f\left(b\right)=m\left(h\right)\end{array}$

   このとき、

   $\begin{array}{l}h\to 0\\ \Rightarrow a\to c,b\to c\end{array}$

   なので、

   $\begin{array}{l}h\to 0\\ \Rightarrow M\left(h\right)\to f\left(c\right),m\left(h\right)\to f\left(c\right)\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}h\to 0\\ \Rightarrow M\left(h\right)-m\left(h\right)\to f\left(c\right)-f\left(c\right)=0\end{array}$

   （証明終）