数学 - Python - 線形代数学 - 多項式と素因子分解 - 多項式の α - 進展開 - 有理数、素因数分解、部分分数分解、最大公約数、互いに素

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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の12章(多項式と素因子分解)、7(多項式の α - 進展開)、練習問題9の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{r} \frac{b_{k}}{p_{1}^{m_{k}}} \\ = \frac{p_{2}^{m_{2}} \cdot \dots \cdot p_{r}^{m_{r}} b_{1} + \dots + p_{1}^{m_{1}} \cdot \dots \cdot p_{r - 1}^{m - 1} b_{r}}{\prod_{k = 1}^{r} p_{1}^{m_{k}}} \end{array}$
分子について。
$p_{2}^{m_{2}} \cdot \dots \cdot p_{r}^{m_{r}}, \dots, p_{1}^{m_{1}} \cdot \dots \cdot p_{r - 1}^{m_{r - 1}}$
の最大公約数は1である。
ゆえに、
$b_{1} p_{2}^{m_{2}} \cdot \dots \cdot p_{r}^{m_{r}} + \dots + b_{r} p_{1}^{m_{1}} \cdot \dots \cdot p_{r - 1}^{m_{r - 1}} = b$
を満たす
$b_{1}, \dots, b_{r}$
が存在する。
よって、
$k = \sum_{k = 1}^{r} \frac{b_{k}}{p_{1}^{m_{k}}}$
と書ける。
（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve

print('9.')

b = symbols('b')
bs = symbols([f'b{i + 1}' for i in range(5)], integer=True)
ps = [2, 3, 5, 11, 97]
ms = [4, 1, 5, 2, 3]
c = 1
for p, m in zip(ps, ms):
    c *= p ** m

a = b / c
right = sum([b0 / p ** m for b0, p, m in zip(bs, ps, ms)])

for o in [a, right, solve(a - right, *bs, dict=True)]:
    pprint(o)
    print()


def product(i):
    p = 1
    for j, (p0, m) in enumerate(zip(ps, ms)):
        if i != j:
            p *= p0 ** m
    return p


num = sum([b0 * product(i) for i, b0 in enumerate(bs)])

for o in [num, solve(num - b, *bs, dict=True)]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample9.py
9.
      b       
──────────────
16565014950000

b₁   b₂    b₃     b₄     b₅  
── + ── + ──── + ─── + ──────
16   3    3125   121   912673

⎡⎧          b         16⋅b₂   16⋅b₃   16⋅b₄   16⋅b₅ ⎫⎤
⎢⎨b₁: ───────────── - ───── - ───── - ───── - ──────⎬⎥
⎣⎩    1035313434375     3      3125    121    912673⎭⎦

1035313434375⋅b₁ + 5521671650000⋅b₂ + 5300804784⋅b₃ + 136900950000⋅b₄ + 181500
00⋅b₅

⎡⎧          b         16⋅b₂   16⋅b₃   16⋅b₄   16⋅b₅ ⎫⎤
⎢⎨b₁: ───────────── - ───── - ───── - ───── - ──────⎬⎥
⎣⎩    1035313434375     3      3125    121    912673⎭⎦


C:\Users\...>

Kamimura's blog

2019年9月16日月曜日

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