数学 - Python - 微分積分学 - 微分法 - 極値、極大値、極小値、最大値、最小値、累乗(べき乗、平方、2次)、平方根、逆数

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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田洋一(著)、筑摩書房)のI.(微分法)、演習問題 I.、21、22、23の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} f' (x) \\ = - 2 + 6 x \\ = 2 (3 x - 1) \\ f' (\frac{1}{3}) = 0 \\ x < \frac{1}{3} \\ f' (x) < 0 \\ x > \frac{1}{3} \\ f' (x) > 0 \end{array}$
求める極値は最小値で、
$f (\frac{1}{3}) = 1 - \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3^{2}} = \frac{2}{3}$
極値は最大値で、
$f (0) = \sqrt{1 - 0^{2}} = 1$
$\begin{array}{l} f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{4}{x^{2}} \\ \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{4}{x^{2}} \\ x^{2} = 8 \sqrt{x} \\ x^{4} = 64 x \\ x (x^{3} - 64) = 0 \\ x^{3} = 64 \\ x = 4 \\ f' (4) = 0 \\ x < 4 \\ f' (x) < 0 \\ x > 4 \\ f (x) > 0 \end{array}$
よって、極値は最小値で、
$f (4) = \sqrt{4} + \frac{4}{4} = 3$

#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, Derivative, sqrt, plot, solve x = symbols('x', real=True) fs = [1 - 2 * x + 3 * x ** 2, sqrt(1 - x ** 2), sqrt(x) + 4 / x] xs = [(-5, 5), (-1, 1), (0.1, 5)] ds = [Derivative(f, x, 1) for f in fs] ds1 = [d.doit() for d in ds] s = [solve(d, x) for d in ds1] for i, (d, d1, t) in enumerate(zip(ds, ds1, s), 21): print(f'{i}.') for o in [d, d1, t]: pprint(o) print() extremums = [f.subs({x: t[0]}) for f, t in zip(fs, s)] p = plot(*[(f, (x, x1, x2)) for f, (x1, x2) in zip(fs, xs)], *[(extremum, (x, -5, 5)) for extremum in extremums], ylim=(0, 10), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample21.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample21.py 21. d ⎛ 2 ⎞ ──⎝3⋅x - 2⋅x + 1⎠ dx 6⋅x - 2 [1/3] 22. ⎛ ________⎞ d ⎜ ╱ 2 ⎟ ──⎝╲╱ 1 - x ⎠ dx -x ─────────── ________ ╱ 2 ╲╱ 1 - x [0] 23. d ⎛ 4⎞ ──⎜√x + ─⎟ dx⎝ x⎠ 4 1 - ── + ──── 2 2⋅√x x [4] c:\Users\...>

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2019年9月8日日曜日

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