数学 - Python - 微分積分学 - 微分法 - 極小になる場合の値

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のI.(微分法)、演習問題 I.、25の解答を求めてみる。

25. 
    
    $\begin{array}{l}f\left(x\right)=x+\frac{b}{x}-a\\ f\text{'}\left(x\right)=1-\frac{b}{x^2}\\ 1-\frac{b}{x^2}=0\\ x^2=b\\ x=\pm \sqrt{b}\end{array}$

    また、

    $\begin{array}{l}0<x<\sqrt{b}\\ f\text{'}\left(x\right)<0\\ x>\sqrt{b}\\ f\text{'}\left(x\right)>0\\ x<-\sqrt{b}\\ f\text{'}\left(x\right)>0\\ -\sqrt{b}<x<0\\ f\text{'}\left(x\right)<0\end{array}$

    よって

    $x=\sqrt{b}$

    のとき極小値0となる。

    ゆえに、

    $\begin{array}{l}f\left(\sqrt{b}\right)=0\\ \sqrt{b}+\frac{b}{\sqrt{b}}-a=0\\ \sqrt{b}+\sqrt{b}-a=0\\ a=2\sqrt{b}\end{array}$

    である。

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, plot, solve, sqrt

print('25')

a, b = symbols('a, b', positive=True)
x = symbols('x')
f = x + b / x - a
d = Derivative(f, x, 1)
d1 = d.doit()

for o in [d, d1, solve(d1, x)]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(*[f.subs({a: 2 * sqrt(b0), b: b0}) for b0 in range(1, 6)],
         ylim=(-10, 10),
         legend=True, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample25.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample25.py
25
∂ ⎛     b    ⎞
──⎜-a + ─ + x⎟
∂x⎝     x    ⎠

  b     
- ── + 1
   2    
  x     

[-√b, √b]


c:\Users\...>