数学 - Python - 微分積分学 - 微分法 - 曲線、平方根、逆数、接線、法線、垂線、接線影、法線影、長さ

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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田洋一(著)、筑摩書房)のI.(微分法)、演習問題 I.、28、29の解答を求めてみる。

$y' = \frac{\sqrt{2 p}}{2 \sqrt{x}}$
接線影、法線影、接線の長さ、法線の長さはそれぞれ、
$\begin{array}{l} |\frac{y}{y'}| \\ = \sqrt{2 p x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{2 p}} \\ = 2 |x| \\ |y y'| \\ = \frac{\sqrt{2 p}}{2 \sqrt{x}} \cdot \sqrt{2 p x} \\ = p \\ |\frac{y}{y'} \sqrt{1 + {(y')}^{2}}| \\ = 2 |x| \sqrt{1 + \frac{2 p}{4 x}} \\ = \sqrt{4 x^{2} + 2 p x} \\ |y \sqrt{1 + {(y')}^{2}}| \\ = \sqrt{2 p x} \cdot \sqrt{1 + \frac{p}{2 x}} \\ = \sqrt{2 p x + p^{2}} \end{array}$
$\begin{array}{l} y = \frac{C^{2}}{x} \\ y' = - \frac{C^{2}}{x^{2}} \\ |\frac{y}{y'}| \\ = |\frac{C^{2}}{x} \cdot (- \frac{x^{2}}{C^{2}})| \\ = |x| \\ |y y'| \\ = |\frac{C^{2}}{x} \cdot (- \frac{C^{2}}{x^{2}})| \\ = \frac{C^{4}}{|x^{3}|} \\ |\frac{y}{y'} \sqrt{1 + {(y')}^{2}}| \\ = |x| \sqrt{1 + \frac{C^{4}}{x^{4}}} \\ = \sqrt{x^{2} + \frac{C^{4}}{x^{2}}} \\ |y \sqrt{1 + {(y')}^{2}}| \\ = \frac{C^{2}}{|x|} \sqrt{1 + \frac{C^{4}}{x^{4}}} \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, Derivative, plot, solve, sqrt x, C = symbols('x, C') p = symbols('p', positive=True) f = sqrt(2 * p * x) g = C ** 2 / x gs = [] ls = [] px = 1 p0 = 2 C0 = 3 s = {p: 2, C: 3} for i, h in enumerate([f, g], 28): print(f'({i})') m = Derivative(h, x, 1).doit() gs.append(m.subs({x: px}) * (x - px) + h.subs({x: px})) ls.append(-1 / m.subs({x: px}) * (x - px) + h.subs({x: px})) d = Derivative(h, x, 1).doit() for o in [abs(h / d), abs(h * d), abs(h / d * sqrt(1 + d ** 2)), abs(h * sqrt(1 + d ** 2))]: pprint(o.simplify()) print() fs = [f, g] + gs + ls p = plot(*[(h.subs(s), (x, x1, x2)) for h in fs for x1, x2 in [(-10, -0.1), (0.1, 10)]], ylim=(-10, 10), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample28.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample28.py (28) 2⋅│x│ p │ _______│ │ ╱ p │ √2⋅│x⋅ ╱ ─ + 2 │ │ ╲╱ x │ │ _______│ │ ╱ p │ √p⋅│√x⋅ ╱ ─ + 2 │ │ ╲╱ x │ (29) │x│ │ 4│ │C │ │──│ │ 3│ │x │ │ ________│ │ ╱ 4 │ │ ╱ C │ │x⋅ ╱ ── + 1 │ │ ╱ 4 │ │ ╲╱ x │ │ ________│ │ ╱ 4 │ │ 2 ╱ C │ │C ⋅ ╱ ── + 1 │ │ ╱ 4 │ │ ╲╱ x │ │─────────────────│ │ x │ c:\Users\...>

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2019年9月18日水曜日

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