数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数(続き)、逆三角関数 - 正弦と余弦、台形の面積、角、最大値

解析入門(上)
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題12の解答を求めてみる。

12. 
    

    台形の面積は、

    $\begin{array}{l}0<\theta <\frac{\pi }{2}\\ S\left(\theta \right)\\ =\frac{\left(2a\left(\cos \theta \right)+a+a\right)a\left(\sin \theta \right)}{2}\\ =a^2\left(\cos \theta +1\right)\sin \theta \end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{l}0<\theta <\frac{\pi }{2}\\ S\text{'}\left(\theta \right)\\ =a^2\left(-{\sin }^2\theta +\left(\cos \theta +1\right)\cos \theta \right)\\ =a^2\left(-1+{\cos }^2\theta +{\cos }^2\theta +\cos \theta \right)\\ =a^2\left(2{\cos }^2\theta +\cos \theta -1\right)\\ =a^2\left(2\cos \theta -1\right)\left(\cos \theta +1\right)\end{array}$

    ゆえに、 角が

    $\begin{array}{l}2\cos \theta -1=0\\ \cos \theta =\frac{1}{2}\\ \theta =\frac{\pi }{3}\end{array}$

    のとき問題の図の台形の面積は最大になる。

    この時の台形の面積は、

    $\begin{array}{l}{a}^2\left(\frac{1}{2}+1\right)\sin \frac{\pi }{3}\\ =\frac{3}{2}·\frac{\sqrt{3}}{2}·a^2\\ =\frac{3\sqrt{3}}{4}{a}^2\end{array}$

    である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, Derivative, solve, plot

print('12.')

x = symbols('x')
a = 2
f = a ** 2 * (cos(x) + 1) * sin(x)
g = Derivative(f, x, 1).doit()
pprint(solve(g))

p = plot(f, g,
         ylim=(-10, 10),
         show=False,
         legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save(f'sample12.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample12.py
12.
⎡-π   π⎤
⎢───, ─⎥
⎣ 3   3⎦
$