2019年9月18日水曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題7の解答を求めてみる。


  1. 微分について。

    x 0 f ' x = 2 x sin 1 x + x 2 cos 1 x · - 1 x 2 = 2 x sin 1 x - cos 1 x x = 0 f ' x = 0

    よって 問題 f の関数は全区間で微分可能。

    また、

    lim h 0 f ' 0 + h - f ' 0 h = lim h 0 2 h sin 1 h - cos 1 h h = lim h 0 2 sin 1 h - cos 1 h h

    は発散する。

    よって、導関数は0において連続ではない。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, Derivative, plot, Limit

print('7.')

x = symbols('x')
f = x ** 2 * sin(1 / x)
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()
for o in [f, f1]:
    for d in ['+', '-']:
        l = Limit(o, x, 0, dir=d)
        for o in [l, l.doit()]:
            pprint(o)
            print()

p = plot((f, (x, -1, -0.00001)),
         (f, (x, 0.00001, 1)),
         (f1, (x, -1, -0.00001)),
         (f1, (x, 0.00001, 1)),
         ylim=(-1, 1),
         show=False,
         legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample7.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample7.py
7.
     ⎛ 2    ⎛1⎞⎞
 lim ⎜x ⋅sin⎜─⎟⎟
x─→0⁺⎝      ⎝x⎠⎠

0

 lim 0
x─→0⁻ 

0

     ⎛       ⎛1⎞      ⎛1⎞⎞
 lim ⎜2⋅x⋅sin⎜─⎟ - cos⎜─⎟⎟
x─→0⁺⎝       ⎝x⎠      ⎝x⎠⎠

<-1, 1>

 lim <-1, 1>
x─→0⁻       

<-1, 1>


C:\Users\...>

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