数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数(続き)、逆三角関数 - 正弦と余弦、連続性、導関数の連続性

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題7の解答を求めてみる。

7. 
   

   微分について。

   $\begin{array}{l}x\ne 0\\ f\text{'}\left(x\right)=2x\sin \frac{1}{x}+x^2\cos \left(\frac{1}{x}\right)·\frac{-1}{x^2}\\ =2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\\ x=0\\ f\text{'}\left(x\right)=0\end{array}$

   よって 問題 f の関数は全区間で微分可能。

   また、

   $\begin{array}{l}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\text{'}\left(0+h\right)-f\text{'}\left(0\right)}{h}\\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2h\sin \frac{1}{h}-\cos \frac{1}{h}}{h}\\ =\underset{h\to 0}{\lim }\left(2\sin \frac{1}{h}-\frac{\cos \frac{1}{h}}{h}\right)\end{array}$

   は発散する。

   よって、導関数は0において連続ではない。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, Derivative, plot, Limit

print('7.')

x = symbols('x')
f = x ** 2 * sin(1 / x)
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()
for o in [f, f1]:
    for d in ['+', '-']:
        l = Limit(o, x, 0, dir=d)
        for o in [l, l.doit()]:
            pprint(o)
            print()

p = plot((f, (x, -1, -0.00001)),
         (f, (x, 0.00001, 1)),
         (f1, (x, -1, -0.00001)),
         (f1, (x, 0.00001, 1)),
         ylim=(-1, 1),
         show=False,
         legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample7.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample7.py
7.
     ⎛ 2    ⎛1⎞⎞
 lim ⎜x ⋅sin⎜─⎟⎟
x─→0⁺⎝      ⎝x⎠⎠

0

 lim 0
x─→0⁻ 

0

     ⎛       ⎛1⎞      ⎛1⎞⎞
 lim ⎜2⋅x⋅sin⎜─⎟ - cos⎜─⎟⎟
x─→0⁺⎝       ⎝x⎠      ⎝x⎠⎠

<-1, 1>

 lim <-1, 1>
x─→0⁻       

<-1, 1>


C:\Users\...>