2019年9月10日火曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題1の解答を求めてみる。



    1. lim x 0 sin b x sin a x = lim x 0 a b x a b x sin b x sin a x = b a lim x 0 sin b x b x · a x sin a x = b a · 1 · 1 = b a

    2. 1 - cos x = 1 - cos 1 2 x + 1 2 x = 1 - cos 2 1 2 x - sin 2 1 2 x = 1 - 1 - sin 2 1 2 x - sin 2 1 2 x = 2 sin 2 1 2 x lim x 0 1 - cos x x 2 = lim x 0 2 · sin 2 1 2 x 4 1 2 x 2 = 2 4 = 1 2

    3. y = arctan x tan y = x lim x 0 arctan x x = lim y 0 y tan y = lim y 0 y sin y · 1 cos y = 1

    4. lim x n π x - n π 2 sin 2 x = lim y 0 y 2 sin 2 y = 1

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, sin, cos, pi, atan, Limit, plot

print('1.')

a, b = symbols('a, b', nonzero=True)
n = symbols('n', integer=True)
x = symbols('x', real=True)
fs = [(sin(b * x) / sin(a * x), 0),
      ((x - n * pi) ** 2 / sin(x) ** 2, 0),
      (atan(x) / x, 0),
      ((x - n * pi) ** 2 / sin(x) ** 2, n * pi)]

for i, (f, x0) in enumerate(fs, 1):
    print(f'({i})')
    for d in ['-', '+']:
        l = Limit(f, x, x0, dir=d)
        for o in [l, l.doit()]:
            pprint(o)
            print()
fs = [sin(1 * x) / sin(2 * x),
      (1 - cos(x)) / x ** 2,
      atan(x) / x,
      (x - 2 * pi) ** 2 / sin(x) ** 2]

p = plot(*[(f, (x, -1, -0.1)) for f in fs],
         *[(f, (x, 0.1, 1)) for f in fs],
         ylim=(0.5, 1.5),
         show=False,
         legend=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for t in zip(fs, colors):
    pprint(t)
    print()

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample1.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
(1)
     ⎛sin(b⋅x)⎞
 lim ⎜────────⎟
x─→0⁻⎝sin(a⋅x)⎠

b
─
a

     ⎛sin(b⋅x)⎞
 lim ⎜────────⎟
x─→0⁺⎝sin(a⋅x)⎠

b
─
a

(2)
     ⎛          2⎞
     ⎜(-π⋅n + x) ⎟
 lim ⎜───────────⎟
x─→0⁻⎜     2     ⎟
     ⎝  sin (x)  ⎠

      ⎛ 2⎞
∞⋅sign⎝n ⎠

     ⎛          2⎞
     ⎜(-π⋅n + x) ⎟
 lim ⎜───────────⎟
x─→0⁺⎜     2     ⎟
     ⎝  sin (x)  ⎠

      ⎛ 2⎞
∞⋅sign⎝n ⎠

(3)
     ⎛atan(x)⎞
 lim ⎜───────⎟
x─→0⁻⎝   x   ⎠

1

     ⎛atan(x)⎞
 lim ⎜───────⎟
x─→0⁺⎝   x   ⎠

1

(4)
       ⎛          2⎞
       ⎜(-π⋅n + x) ⎟
  lim  ⎜───────────⎟
x─→π⋅n⁻⎜     2     ⎟
       ⎝  sin (x)  ⎠

1

       ⎛          2⎞
       ⎜(-π⋅n + x) ⎟
  lim  ⎜───────────⎟
x─→π⋅n⁺⎜     2     ⎟
       ⎝  sin (x)  ⎠

1

⎛ sin(x)      ⎞
⎜────────, red⎟
⎝sin(2⋅x)     ⎠

⎛1 - cos(x)       ⎞
⎜──────────, green⎟
⎜     2           ⎟
⎝    x            ⎠

⎛atan(x)      ⎞
⎜───────, blue⎟
⎝   x         ⎠

⎛         2       ⎞
⎜(x - 2⋅π)        ⎟
⎜──────────, brown⎟
⎜    2            ⎟
⎝ sin (x)         ⎠


C:\Users\...>

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