数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数(続き)、逆三角関数 - 基本的な極限、正弦、余弦、逆正接関数

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題1の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} \frac{\sin b x}{\sin a x} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{a b x}{a b x} \frac{\sin b x}{\sin a x} \\ = \frac{b}{a} \lim_{x \to 0} \frac{\sin b x}{b x} \cdot \frac{a x}{\sin a x} \\ = \frac{b}{a} \cdot 1 \cdot 1 \\ = \frac{b}{a} \end{array}$
2. $\begin{array}{l} 1 - \cos x \\ = 1 - \cos (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x) \\ = 1 - (\cos^{2} (\frac{1}{2} x) - \sin^{2} (\frac{1}{2} x)) \\ = 1 - (1 - \sin^{2} (\frac{1}{2} x) - \sin^{2} (\frac{1}{2} x)) \\ = 2 \sin^{2} (\frac{1}{2} x) \\ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin^{2} (\frac{1}{2} x)}{4 {(\frac{1}{2} x)}^{2}} \\ = \frac{2}{4} \\ = \frac{1}{2} \end{array}$
3. $\begin{array}{l} y = \arctan x \\ \tan y = x \\ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} \\ = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\tan y} \\ = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\sin y} \cdot \frac{1}{\cos y} \\ = 1 \end{array}$
4. $\begin{array}{l} \lim_{x \to n π} \frac{{(x - n π)}^{2}}{\sin^{2} x} \\ = \lim_{y \to 0} \frac{y^{2}}{\sin^{2} y} \\ = 1 \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, sqrt, sin, cos, pi, atan, Limit, plot print('1.') a, b = symbols('a, b', nonzero=True) n = symbols('n', integer=True) x = symbols('x', real=True) fs = [(sin(b * x) / sin(a * x), 0), ((x - n * pi) ** 2 / sin(x) ** 2, 0), (atan(x) / x, 0), ((x - n * pi) ** 2 / sin(x) ** 2, n * pi)] for i, (f, x0) in enumerate(fs, 1): print(f'({i})') for d in ['-', '+']: l = Limit(f, x, x0, dir=d) for o in [l, l.doit()]: pprint(o) print() fs = [sin(1 * x) / sin(2 * x), (1 - cos(x)) / x ** 2, atan(x) / x, (x - 2 * pi) ** 2 / sin(x) ** 2] p = plot(*[(f, (x, -1, -0.1)) for f in fs], *[(f, (x, 0.1, 1)) for f in fs], ylim=(0.5, 1.5), show=False, legend=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for t in zip(fs, colors): pprint(t) print() for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample1.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py 1. (1) ⎛sin(b⋅x)⎞ lim ⎜────────⎟ x─→0⁻⎝sin(a⋅x)⎠ b ─ a ⎛sin(b⋅x)⎞ lim ⎜────────⎟ x─→0⁺⎝sin(a⋅x)⎠ b ─ a (2) ⎛ 2⎞ ⎜(-π⋅n + x) ⎟ lim ⎜───────────⎟ x─→0⁻⎜ 2 ⎟ ⎝ sin (x) ⎠ ⎛ 2⎞ ∞⋅sign⎝n ⎠ ⎛ 2⎞ ⎜(-π⋅n + x) ⎟ lim ⎜───────────⎟ x─→0⁺⎜ 2 ⎟ ⎝ sin (x) ⎠ ⎛ 2⎞ ∞⋅sign⎝n ⎠ (3) ⎛atan(x)⎞ lim ⎜───────⎟ x─→0⁻⎝ x ⎠ 1 ⎛atan(x)⎞ lim ⎜───────⎟ x─→0⁺⎝ x ⎠ 1 (4) ⎛ 2⎞ ⎜(-π⋅n + x) ⎟ lim ⎜───────────⎟ x─→π⋅n⁻⎜ 2 ⎟ ⎝ sin (x) ⎠ 1 ⎛ 2⎞ ⎜(-π⋅n + x) ⎟ lim ⎜───────────⎟ x─→π⋅n⁺⎜ 2 ⎟ ⎝ sin (x) ⎠ 1 ⎛ sin(x) ⎞ ⎜────────, red⎟ ⎝sin(2⋅x) ⎠ ⎛1 - cos(x) ⎞ ⎜──────────, green⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ x ⎠ ⎛atan(x) ⎞ ⎜───────, blue⎟ ⎝ x ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎜(x - 2⋅π) ⎟ ⎜──────────, brown⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ sin (x) ⎠ C:\Users\...>

Kamimura's blog

2019年9月10日火曜日

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