数学 - Python - 解析学 - 級数 - 絶対収束と交代級数の収束 - 平方根、逆数、収束と絶対収束、極限

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、5(絶対収束と交代級数の収束)の練習問題11を求めてみる。

11. 
    
    $\sum \left|\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{\sqrt{n}}\right|=\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$

    絶対収束しない。

    交代級数で、

    $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{\sqrt{n}}=0\\ \left|a_{n+1}\right|\\ =\frac{1}{\sqrt{n+1}}\\ \le \frac{1}{\sqrt{n}}\\ =\left|a_n\right|\end{array}$

    よって問題の級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, plot, sqrt
import matplotlib.pyplot as plt

print('11.')

n = symbols('n')
f = (-1) ** (n + 1) / sqrt(n)
s1 = summation(f, (n, 1, oo))
s2 = summation(abs(f), (n, 1, oo))
for o in [s1, s2]:
    pprint(o)
    print()


def g(m):
    return sum([f.subs({n: n0}) for n0 in range(1, m)])


def h(m):
    return sum([abs(f.subs({n: n0})) for n0 in range(1, m)])


p = plot(f, abs(f),
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample11.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms],
         ms, [h(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ (-1)^(n + 1) / √n',
            'Σ |(-1)^(n + 1) / √n|',
            '(-1)^(n + 1) / √n',
            '|(-1)^(n + 1) / √n|'])
plt.savefig('sample11.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample11.py
11.
  ∞            
 ____          
 ╲             
  ╲       n + 1
   ╲  (-1)     
   ╱  ─────────
  ╱       √n   
 ╱             
 ‾‾‾‾          
n = 1          

  ∞                 
 ____               
 ╲                  
  ╲    -π⋅im(n) │1 │
   ╲  ℯ        ⋅│──│
   ╱            │√n│
  ╱                 
 ╱                  
 ‾‾‾‾               
n = 1               


c:\Users\...>