## 2019年9月8日日曜日

### 数学 - Python - 解析学 - 級数 - 絶対収束と交代級数の収束 - 正弦、累乗倍、収束、連続、微分可能

1. $\begin{array}{l}\left|\frac{\mathrm{sin}{n}^{2}x}{{n}^{2}}\right|\\ \le \frac{1}{{n}^{2}}\end{array}$

また、

$\sum \frac{1}{{n}^{2}}$

は収束するので、

$\sum \left|\frac{\mathrm{sin}{n}^{2}x}{{n}^{2}}\right|$

は収束するから問題の無限級数は絶対収束する。

$\begin{array}{l}\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)\\ =\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\sum \frac{\mathrm{sin}\left({n}^{2}\left(x+h\right)\right)}{{n}^{2}}-\sum \frac{\mathrm{sin}\left({n}^{2}x\right)}{{n}^{2}}\right)\\ =\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\sum \frac{\left(\mathrm{sin}\left({n}^{2}x\right)\mathrm{cos}\left({n}^{2}h\right)+\mathrm{cos}\left({n}^{2}x\right)\mathrm{sin}\left({n}^{2}h\right)\right)}{{n}^{2}}-\sum \frac{\mathrm{sin}\left({n}^{2}x\right)}{{n}^{2}}\right)\\ =\sum \frac{\mathrm{sin}\left({n}^{2}x\right)}{{n}^{2}}-\sum \frac{\mathrm{sin}\left({n}^{2}x\right)}{{n}^{2}}\\ =0\end{array}$

よって f は連続。

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)\\ =\sum \frac{\mathrm{sin}\left({n}^{2}x\right)}{{n}^{2}}\\ =\sum \frac{\mathrm{cos}\left({n}^{2}x\right){n}^{2}}{{n}^{2}}\\ =\sum \mathrm{cos}\left({n}^{2}x\right)\end{array}$

よって、 f は微分可能。

（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, plot, sin, Derivative
import matplotlib.pyplot as plt

print('9.')

n, x = symbols('n, x')
f = sin(n ** 2 * x) / n ** 2
s = summation(f, (n, 1, oo))
d = Derivative(s, x, 1)
for o in [s, d.doit()]:
pprint(o)
print()

fs = [summation(f, (n, 1, m)) for m in range(1, 11)]

p = plot(*fs,
legend=False,
show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o in zip(fs, colors):
pprint(o)
print()

for s, color in zip(p, colors):
s.line_color = color

p.show()
p.save('sample10.png')

# def g(m):
#     return sum([f.subs({n: k}) for k in range(1, m)])

# ms = range(1, 101)
# plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
# plt.legend(['Σ (-1)^(n + 1) / log(n + 2)',
#             '(-1)^(n + 1) / log(n + 2)'])
# plt.savefig('sample10.png')


C:\Users\...>py sample10.py
9.
∞
_____
╲
╲       ⎛ 2  ⎞
╲   sin⎝n ⋅x⎠
╲  ─────────
╱       2
╱       n
╱
╱
‾‾‾‾‾
n = 1

∞
___
╲
╲      ⎛ 2  ⎞
╱   cos⎝n ⋅x⎠
╱
‾‾‾
n = 1

(sin(x), red)

⎛         sin(4⋅x)       ⎞
⎜sin(x) + ────────, green⎟
⎝            4           ⎠

⎛         sin(4⋅x)   sin(9⋅x)      ⎞
⎜sin(x) + ──────── + ────────, blue⎟
⎝            4          9          ⎠

⎛         sin(4⋅x)   sin(9⋅x)   sin(16⋅x)       ⎞
⎜sin(x) + ──────── + ──────── + ─────────, brown⎟
⎝            4          9           16          ⎠

⎛         sin(4⋅x)   sin(9⋅x)   sin(16⋅x)   sin(25⋅x)        ⎞
⎜sin(x) + ──────── + ──────── + ───────── + ─────────, orange⎟
⎝            4          9           16          25           ⎠

⎛         sin(4⋅x)   sin(9⋅x)   sin(16⋅x)   sin(25⋅x)   sin(36⋅x)        ⎞
⎜sin(x) + ──────── + ──────── + ───────── + ───────── + ─────────, purple⎟
⎝            4          9           16          25          36           ⎠

⎛         sin(4⋅x)   sin(9⋅x)   sin(16⋅x)   sin(25⋅x)   sin(36⋅x)   sin(49⋅x)
⎜sin(x) + ──────── + ──────── + ───────── + ───────── + ───────── + ─────────,
⎝            4          9           16          25          36          49

⎞
pink⎟
⎠

⎛         sin(4⋅x)   sin(9⋅x)   sin(16⋅x)   sin(25⋅x)   sin(36⋅x)   sin(49⋅x)
⎜sin(x) + ──────── + ──────── + ───────── + ───────── + ───────── + ─────────
⎝            4          9           16          25          36          49

sin(64⋅x)      ⎞
+ ─────────, gray⎟
64         ⎠

⎛         sin(4⋅x)   sin(9⋅x)   sin(16⋅x)   sin(25⋅x)   sin(36⋅x)   sin(49⋅x)
⎜sin(x) + ──────── + ──────── + ───────── + ───────── + ───────── + ─────────
⎝            4          9           16          25          36          49

sin(64⋅x)   sin(81⋅x)         ⎞
+ ───────── + ─────────, skyblue⎟
64          81            ⎠

⎛         sin(4⋅x)   sin(9⋅x)   sin(16⋅x)   sin(25⋅x)   sin(36⋅x)   sin(49⋅x)
⎜sin(x) + ──────── + ──────── + ───────── + ───────── + ───────── + ─────────
⎝            4          9           16          25          36          49

sin(64⋅x)   sin(81⋅x)   sin(100⋅x)        ⎞
+ ───────── + ───────── + ──────────, yellow⎟
64          81         100            ⎠

c:\Users\...>