数学 - Python - 解析学 - 級数 - 絶対収束と交代級数の収束 - 累乗(べき乗、平方)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、5(絶対収束と交代級数の収束)の練習問題4を求めてみる。

4. 
   
   $\begin{array}{l}\sum \left|\frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2+1}\right|\\ =\sum \frac{1}{n^2+1}\end{array}$

   よって問題の無限級数は絶対収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, sin, cos, pi
from sympy import Rational
import matplotlib.pyplot as plt

print('4.')

n = symbols('n')
f = abs((-1) ** n / (n ** 2 + 1))
s = summation(f, (n, 1, oo))
I = Integral(f, (n, 1, oo))

for o in [s, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f,
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample4.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ |(sin πn + cos 2πn) / n^(3/2)|',
            '|(sin πn + cos 2πn) / n^(3/2)|',
            '1 / n^(3/2)'])
plt.savefig('sample4.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
  ∞                     
 ____                   
 ╲                      
  ╲    -π⋅im(n) │  1   │
   ╲  ℯ        ⋅│──────│
   ╱            │ 2    │
  ╱             │n  + 1│
 ╱                      
 ‾‾‾‾                   
n = 1                   

∞                      
⌠                      
⎮  -π⋅im(n) │  1   │   
⎮ ℯ        ⋅│──────│ dn
⎮           │ 2    │   
⎮           │n  + 1│   
⌡                      
1                      

π
─
4


c:\Users\...>