数学 - Python - 解析学 - 級数 - 絶対収束と交代級数の収束 - 三角関数(正弦、余弦)、3倍角、累乗(べき乗、平方)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
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• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、5(絶対収束と交代級数の収束)の練習問題5を求めてみる。

5. 
   
   $\begin{array}{l}\left|\frac{{\left(-1\right)}^n\sin n+\cos 3n}{n^2+n}\right|\\ \le \frac{2}{n^2+n}\end{array}$

   よって

   $\sum \frac{2}{n^2+n}$

   は収束するので問題の無限級数は絶対収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, sin, cos, pi
from sympy import Rational
import matplotlib.pyplot as plt

print('5.')

n = symbols('n')
f = abs(((-1) ** n * sin(n) + cos(3 * n)) / (n ** 2 + n))
s = summation(f, (n, 1, oo))
I = Integral(f, (n, 1, oo))

for o in [s, I,  # I.doit()
          ]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f,
         2 / (n ** 2 + n),
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample5.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ |(-1)^n sin n + cos 3n|',
            '|(-1)^n sin n + cos 3n|',
            '2 / (n^2 + n)'])
plt.savefig('sample5.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py
5.
  ∞                            
_____                          
╲                              
 ╲    │    n                  │
  ╲   │(-1) ⋅sin(n) + cos(3⋅n)│
   ╲  │───────────────────────│
   ╱  │          2            │
  ╱   │         n  + n        │
 ╱                             
╱                              
‾‾‾‾‾                          
n = 1                          

∞                             
⌠                             
⎮ │    n                  │   
⎮ │(-1) ⋅sin(n) + cos(3⋅n)│   
⎮ │───────────────────────│ dn
⎮ │          2            │   
⎮ │         n  + n        │   
⌡                             
1                             


c:\Users\...>

積分の計算はなかなか終わらなかったからコメントアウト。