数学 - 線形代数学 - 群 - 群とその例 - 置換、乗法(合成写像)、対称群、位数、階乗、数学的帰納法

ラング線形代数学(下)
原著
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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の14章(群)、1(群とその例)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   

   それぞれの対称群の元をすべて求めてみる。

   $\begin{array}{l}{S}_2\\ =\left\{\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\right\}\\ S_3\\ =\{\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right),\\ \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right),\\ \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)\}\end{array}$

   よって 位数はそれぞれ2、6。

   対称群

   $S_n$

   の位数について、 m に対応する値は n 通りで、それを固定したものは、

   $S_{n-1}$

   の位数に等しいので

   $S_n$

   の位数は、

   $n\left(n-1\right)!=n!$

   よって帰納法により成り立つ。

   （証明終）