数学 - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数 - 三角形の3つの角の正接、整数の場合、加法定理

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.3(三角関数)、問題10の解答を求めてみる。

10. 
    

    三角形の3つの角を a 、 b、 c とし、

    $a\le b\le c$

    とする。

    このとき、

    $\begin{array}{l}a\le \frac{\pi }{3}\\ \tan a\\ \le \tan \frac{\pi }{3}\\ =\sqrt{3}\\ 1\le \sqrt{3}\le 2\end{array}$

    問題の仮定より、

    $\tan a$

    は整数なので、

    $\begin{array}{l}\tan a=1\\ a=\frac{\pi }{4}\end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{l}b+c\\ =\pi -a\\ =\frac{3}{4}\pi \\ \tan \left(b+c\right)\\ =\tan \frac{3}{4}\pi \\ =-1\\ \tan \left(b+c\right)\\ =\frac{\tan b+\tan c}{1-\tan b\tan c}\\ \frac{\tan b+\tan c}{1-\tan b\tan c}=-1\\ \tan b+\tan c=-1+\tan b\tan c\\ \tan b\tan c-\tan b-\tan c-1=0\\ \left(\tan b-1\right)\left(\tan c-1\right)-2=0\\ \left(\tan b-1\right)\left(\tan c-1\right)=2\end{array}$

    問題の仮定より、

    $\tan b,\tan c$

    は共に整数で、

    $b\le c$

    より、

    $\begin{array}{l}\tan b-1=1\\ \tan c-1=2\\ \tan b=2\\ \tan c=3\end{array}$

    よって、 求める3つの整数は、

    $1,2,3$

    である。