学習環境
- Surface、Surface ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
- MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
- 参考書籍
ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の10章(行列および線形写像の三角化)、1(三角化の存在)、練習問題1の解答を求めてみる。
対角・要素に注目すれば、求める行列
と線形写像とみなしたときの特性多項式は、
で、求める国有値は、
コード
Python 3
#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, eye
print('1.')
t = symbols('t')
def f(i, j):
if i <= j:
return symbols(f'a{i}{j}')
return 0
for n in range(1, 5):
print(f'n = {n}')
A = Matrix([[f(i, j) for j in range(1, n + 1)]
for i in range(1, n + 1)])
pprint(A)
print()
for r in range(1, 5):
print(f'A^{r}')
B = t * eye(n) - A ** r
d = B.det()
for o in [B, d.factor()]:
pprint(o)
print()
B = t * eye(n) - A ** symbols('r')
d = B.det()
for o in [B, d.factor()]:
pprint(o)
print()
入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))
C:\Users\...>py sample1.py
1.
n = 1
[a₁₁]
A^1
[-a₁₁ + t]
-a₁₁ + t
A^2
⎡ 2 ⎤
⎣- a₁₁ + t⎦
2
- a₁₁ + t
A^3
⎡ 3 ⎤
⎣- a₁₁ + t⎦
3
- a₁₁ + t
A^4
⎡ 4 ⎤
⎣- a₁₁ + t⎦
4
- a₁₁ + t
n = 2
⎡a₁₁ a₁₂⎤
⎢ ⎥
⎣ 0 a₂₂⎦
A^1
⎡-a₁₁ + t -a₁₂ ⎤
⎢ ⎥
⎣ 0 -a₂₂ + t⎦
(-a₁₁ + t)⋅(-a₂₂ + t)
A^2
⎡ 2 ⎤
⎢- a₁₁ + t -a₁₁⋅a₁₂ - a₁₂⋅a₂₂⎥
⎢ ⎥
⎢ 2 ⎥
⎣ 0 - a₂₂ + t ⎦
⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎝- a₁₁ + t⎠⋅⎝- a₂₂ + t⎠
A^3
⎡ 3 2⎤
⎢- a₁₁ + t -a₁₁⋅(a₁₁⋅a₁₂ + a₁₂⋅a₂₂) - a₁₂⋅a₂₂ ⎥
⎢ ⎥
⎢ 3 ⎥
⎣ 0 - a₂₂ + t ⎦
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞
⎝- a₁₁ + t⎠⋅⎝- a₂₂ + t⎠
A^4
⎡ 4 2 2 ⎤
⎢- a₁₁ + t - a₁₁ ⋅(a₁₁⋅a₁₂ + a₁₂⋅a₂₂) - a₂₂ ⋅(a₁₁⋅a₁₂ + a₁₂⋅a₂₂)⎥
⎢ ⎥
⎢ 4 ⎥
⎣ 0 - a₂₂ + t ⎦
⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞
⎝- a₁₁ + t⎠⋅⎝- a₂₂ + t⎠
n = 3
⎡a₁₁ a₁₂ a₁₃⎤
⎢ ⎥
⎢ 0 a₂₂ a₂₃⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 0 a₃₃⎦
A^1
⎡-a₁₁ + t -a₁₂ -a₁₃ ⎤
⎢ ⎥
⎢ 0 -a₂₂ + t -a₂₃ ⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 0 -a₃₃ + t⎦
(-a₁₁ + t)⋅(-a₂₂ + t)⋅(-a₃₃ + t)
A^2
⎡ 2 ⎤
⎢- a₁₁ + t -a₁₁⋅a₁₂ - a₁₂⋅a₂₂ -a₁₁⋅a₁₃ - a₁₂⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₃₃⎥
⎢ ⎥
⎢ 2 ⎥
⎢ 0 - a₂₂ + t -a₂₂⋅a₂₃ - a₂₃⋅a₃₃ ⎥
⎢ ⎥
⎢ 2 ⎥
⎣ 0 0 - a₃₃ + t ⎦
⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎝- a₁₁ + t⎠⋅⎝- a₂₂ + t⎠⋅⎝- a₃₃ + t⎠
A^3
⎡ 3 2
⎢- a₁₁ + t -a₁₁⋅(a₁₁⋅a₁₂ + a₁₂⋅a₂₂) - a₁₂⋅a₂₂ -a₁₁⋅(a₁₁⋅a₁₃ + a₁₂⋅a₂₃ + a₁
⎢
⎢ 3
⎢ 0 - a₂₂ + t -a₂₂⋅(a₂₂⋅
⎢
⎢
⎣ 0 0
2⎤
₃⋅a₃₃) - a₁₂⋅(a₂₂⋅a₂₃ + a₂₃⋅a₃₃) - a₁₃⋅a₃₃ ⎥
⎥
2 ⎥
a₂₃ + a₂₃⋅a₃₃) - a₂₃⋅a₃₃ ⎥
⎥
3 ⎥
- a₃₃ + t ⎦
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞
⎝- a₁₁ + t⎠⋅⎝- a₂₂ + t⎠⋅⎝- a₃₃ + t⎠
A^4
⎡ 4 2 2 2
⎢- a₁₁ + t - a₁₁ ⋅(a₁₁⋅a₁₂ + a₁₂⋅a₂₂) - a₂₂ ⋅(a₁₁⋅a₁₂ + a₁₂⋅a₂₂) - a₁₁ ⋅(a₁
⎢
⎢ 4
⎢ 0 - a₂₂ + t
⎢
⎢
⎣ 0 0
2
₁⋅a₁₃ + a₁₂⋅a₂₃ + a₁₃⋅a₃₃) - a₃₃ ⋅(a₁₁⋅a₁₃ + a₁₂⋅a₂₃ + a₁₃⋅a₃₃) - (a₁₁⋅a₁₂ + a
2 2
- a₂₂ ⋅(a₂₂⋅a₂₃ + a₂₃⋅a₃₃) - a₃₃ ⋅(a₂₂⋅a₂₃ + a₂₃⋅a₃₃)
4
- a₃₃ + t
⎤
₁₂⋅a₂₂)⋅(a₂₂⋅a₂₃ + a₂₃⋅a₃₃)⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞
⎝- a₁₁ + t⎠⋅⎝- a₂₂ + t⎠⋅⎝- a₃₃ + t⎠
n = 4
⎡a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄⎤
⎢ ⎥
⎢ 0 a₂₂ a₂₃ a₂₄⎥
⎢ ⎥
⎢ 0 0 a₃₃ a₃₄⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 a₄₄⎦
A^1
⎡-a₁₁ + t -a₁₂ -a₁₃ -a₁₄ ⎤
⎢ ⎥
⎢ 0 -a₂₂ + t -a₂₃ -a₂₄ ⎥
⎢ ⎥
⎢ 0 0 -a₃₃ + t -a₃₄ ⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 -a₄₄ + t⎦
(-a₁₁ + t)⋅(-a₂₂ + t)⋅(-a₃₃ + t)⋅(-a₄₄ + t)
A^2
⎡ 2
⎢- a₁₁ + t -a₁₁⋅a₁₂ - a₁₂⋅a₂₂ -a₁₁⋅a₁₃ - a₁₂⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₃₃ -a₁₁⋅a₁₄ - a₁₂⋅
⎢
⎢ 2
⎢ 0 - a₂₂ + t -a₂₂⋅a₂₃ - a₂₃⋅a₃₃ -a₂₂⋅a₂₄ -
⎢
⎢ 2
⎢ 0 0 - a₃₃ + t -a₃₃⋅
⎢
⎢
⎣ 0 0 0 -
⎤
a₂₄ - a₁₃⋅a₃₄ - a₁₄⋅a₄₄⎥
⎥
⎥
a₂₃⋅a₃₄ - a₂₄⋅a₄₄ ⎥
⎥
⎥
a₃₄ - a₃₄⋅a₄₄ ⎥
⎥
2 ⎥
a₄₄ + t ⎦
⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎝- a₁₁ + t⎠⋅⎝- a₂₂ + t⎠⋅⎝- a₃₃ + t⎠⋅⎝- a₄₄ + t⎠
A^3
⎡ 3 2
⎢- a₁₁ + t -a₁₁⋅(a₁₁⋅a₁₂ + a₁₂⋅a₂₂) - a₁₂⋅a₂₂ -a₁₁⋅(a₁₁⋅a₁₃ + a₁₂⋅a₂₃ + a₁
⎢
⎢ 3
⎢ 0 - a₂₂ + t -a₂₂⋅(a₂₂⋅
⎢
⎢
⎢ 0 0
⎢
⎢
⎣ 0 0
2
₃⋅a₃₃) - a₁₂⋅(a₂₂⋅a₂₃ + a₂₃⋅a₃₃) - a₁₃⋅a₃₃ -a₁₁⋅(a₁₁⋅a₁₄ + a₁₂⋅a₂₄ + a₁₃⋅a₃₄
2
a₂₃ + a₂₃⋅a₃₃) - a₂₃⋅a₃₃ -a₂₂⋅(a₂₂⋅
3
- a₃₃ + t
0
+ a₁₄⋅a₄₄) - a₁₂⋅(a₂₂⋅a₂₄ + a₂₃⋅a₃₄ + a₂₄⋅a₄₄) - a₁₃⋅(a₃₃⋅a₃₄ + a₃₄⋅a₄₄) - a₁
2
a₂₄ + a₂₃⋅a₃₄ + a₂₄⋅a₄₄) - a₂₃⋅(a₃₃⋅a₃₄ + a₃₄⋅a₄₄) - a₂₄⋅a₄₄
2
-a₃₃⋅(a₃₃⋅a₃₄ + a₃₄⋅a₄₄) - a₃₄⋅a₄₄
3
- a₄₄ + t
2⎤
₄⋅a₄₄ ⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞
⎝- a₁₁ + t⎠⋅⎝- a₂₂ + t⎠⋅⎝- a₃₃ + t⎠⋅⎝- a₄₄ + t⎠
A^4
⎡ 4 2 2 2
⎢- a₁₁ + t - a₁₁ ⋅(a₁₁⋅a₁₂ + a₁₂⋅a₂₂) - a₂₂ ⋅(a₁₁⋅a₁₂ + a₁₂⋅a₂₂) - a₁₁ ⋅(a₁
⎢
⎢ 4
⎢ 0 - a₂₂ + t
⎢
⎢
⎢ 0 0
⎢
⎢
⎣ 0 0
2
₁⋅a₁₃ + a₁₂⋅a₂₃ + a₁₃⋅a₃₃) - a₃₃ ⋅(a₁₁⋅a₁₃ + a₁₂⋅a₂₃ + a₁₃⋅a₃₃) - (a₁₁⋅a₁₂ + a
2 2
- a₂₂ ⋅(a₂₂⋅a₂₃ + a₂₃⋅a₃₃) - a₃₃ ⋅(a₂₂⋅a₂₃ + a₂₃⋅a₃₃)
4
- a₃₃ + t
0
2
₁₂⋅a₂₂)⋅(a₂₂⋅a₂₃ + a₂₃⋅a₃₃) - a₁₁ ⋅(a₁₁⋅a₁₄ + a₁₂⋅a₂₄ + a₁₃⋅a₃₄ + a₁₄⋅a₄₄) -
2
- a₂₂ ⋅(
2
a₄₄ ⋅(a₁₁⋅a₁₄ + a₁₂⋅a₂₄ + a₁₃⋅a₃₄ + a₁₄⋅a₄₄) - (a₁₁⋅a₁₂ + a₁₂⋅a₂₂)⋅(a₂₂⋅a₂₄ +
2
a₂₂⋅a₂₄ + a₂₃⋅a₃₄ + a₂₄⋅a₄₄) - a₄₄ ⋅(a₂₂⋅a₂₄ + a₂₃⋅a₃₄ + a₂₄⋅a₄₄) - (a₂₂⋅a₂₃ +
2 2
- a₃₃ ⋅(a₃₃⋅a₃₄ + a₃₄⋅a₄₄) - a₄₄ ⋅(a₃₃⋅a₃₄ + a₃₄⋅a₄₄)
4
- a₄₄ + t
⎤
a₂₃⋅a₃₄ + a₂₄⋅a₄₄) - (a₃₃⋅a₃₄ + a₃₄⋅a₄₄)⋅(a₁₁⋅a₁₃ + a₁₂⋅a₂₃ + a₁₃⋅a₃₃)⎥
⎥
⎥
a₂₃⋅a₃₃)⋅(a₃₃⋅a₃₄ + a₃₄⋅a₄₄) ⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞
⎝- a₁₁ + t⎠⋅⎝- a₂₂ + t⎠⋅⎝- a₃₃ + t⎠⋅⎝- a₄₄ + t⎠
⎡
⎢ r r
⎢ r a₁₁ ⋅a₁₂ a₁₂⋅a₂₂ r ⎛ a₁₂⋅a₂₃ -a₁₂⋅a
⎢- a₁₁ + t - ───────── + ───────── - a₁₁ ⋅⎜─────────────────────── + ──────
⎢ a₁₁ - a₂₂ a₁₁ - a₂₂ ⎝(a₁₁ - a₂₂)⋅(a₂₂ - a₃₃) (a₁₁
⎢
⎢
⎢ r
⎢ 0 - a₂₂ + t
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢ 0 0
⎢
⎢
⎢
⎣ 0 0
r r
₂₃ + a₁₃⋅(a₂₂ - a₃₃)⎞ a₁₂⋅a₂₂ ⋅a₂₃ a₃₃ ⋅(-a₁₂⋅a₂₃ + a₁₃⋅(a₂₂ -
────────────────────⎟ + ─────────────────────── + ────────────────────────────
- a₃₃)⋅(a₂₂ - a₃₃) ⎠ (a₁₁ - a₂₂)⋅(a₂₂ - a₃₃) (a₁₁ - a₃₃)⋅(a₂₂ - a₃₃)
r r
a₂₂ ⋅a₂₃ a₂₃⋅a₃₃
- ───────── + ─────────
a₂₂ - a₃₃ a₂₂ - a₃₃
r
- a₃₃ + t
0
⎛ ⎛ a₁₂⋅a₂₃
⎜ a₃₄⋅⎜- ──────────────────
a₃₃)) r ⎜ a₁₂⋅(-a₂₃⋅a₃₄ + a₂₄⋅(a₃₃ - a₄₄)) ⎝ (a₁₁ - a₂₂)⋅(a₂₂ -
───── - a₁₁ ⋅⎜─────────────────────────────────── - ─────────────────────────
⎝(a₁₁ - a₂₂)⋅(a₂₂ - a₄₄)⋅(a₃₃ - a₄₄)
-a₁₂⋅a₂₃ + a₁₃⋅(a₂₂ - a₃₃)⎞
───── - ──────────────────────────⎟
a₃₃) (a₁₁ - a₃₃)⋅(a₂₂ - a₃₃) ⎠ -a₃₄⋅(-a₁₂⋅a₂₃ + a₁₃⋅(a₂₂ - a₄₄)) + (a₃₃
─────────────────────────────────── + ────────────────────────────────────────
a₃₃ - a₄₄ (a₁₁ - a₄₄)⋅(a₂₂ - a
r ⎛ a₂₃⋅a₃
- a₂₂ ⋅⎜──────────────
⎝(a₂₂ - a₃₃)⋅(a
⎞ r ⎛ a₂₃⋅a₃₄ -a
⎟ a₁₂⋅a₂₂ ⋅⎜─────────────────────── + ──
- a₄₄)⋅(-a₁₂⋅a₂₄ + a₁₄⋅(a₂₂ - a₄₄))⎟ ⎝(a₂₂ - a₃₃)⋅(a₃₃ - a₄₄) (
────────────────────────────────────⎟ + ──────────────────────────────────────
₄₄)⋅(a₃₃ - a₄₄) ⎠ a₁₁ - a₂₂
r r
₄ -a₂₃⋅a₃₄ + a₂₄⋅(a₃₃ - a₄₄)⎞ a₂₃⋅a₃₃ ⋅a₃₄ a₄₄ ⋅(-a₂₃
───────── + ──────────────────────────⎟ + ─────────────────────── + ──────────
₃₃ - a₄₄) (a₂₂ - a₄₄)⋅(a₃₃ - a₄₄) ⎠ (a₂₂ - a₃₃)⋅(a₃₃ - a₄₄) (a₂₂
r r
a₃₃ ⋅a₃₄ a₃₄⋅a₄₄
- ───────── + ─────────
a₃₃ - a₄₄ a₃₃ - a₄₄
r
- a₄₄ + t
₂₃⋅a₃₄ + a₂₄⋅(a₃₃ - a₄₄)⎞
────────────────────────⎟ r r
a₂₂ - a₄₄)⋅(a₃₃ - a₄₄) ⎠ a₃₃ ⋅a₃₄⋅(-a₁₂⋅a₂₃ + a₁₃⋅(a₂₂ - a₃₃)) a₄₄ ⋅(-a₃₄
───────────────────────── + ───────────────────────────────────── + ──────────
(a₁₁ - a₃₃)⋅(a₂₂ - a₃₃)⋅(a₃₃ - a₄₄)
⋅a₃₄ + a₂₄⋅(a₃₃ - a₄₄))
───────────────────────
- a₄₄)⋅(a₃₃ - a₄₄)
⎤
⎥
⋅(-a₁₂⋅a₂₃ + a₁₃⋅(a₂₂ - a₄₄)) + (a₃₃ - a₄₄)⋅(-a₁₂⋅a₂₄ + a₁₄⋅(a₂₂ - a₄₄)))⎥
─────────────────────────────────────────────────────────────────────────⎥
(a₁₁ - a₄₄)⋅(a₂₂ - a₄₄)⋅(a₃₃ - a₄₄) ⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞
⎝- a₁₁ + t⎠⋅⎝- a₂₂ + t⎠⋅⎝- a₃₃ + t⎠⋅⎝- a₄₄ + t⎠
C:\Users\...>
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