数学 - Python - 線形代数学 - 多項式と素因子分解 - ユークリッド算法 - 奇数次数の任意の多項式、中間値の定理、実数解(実数根)の存在

ラング線形代数学(下)
原著
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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の12章(多項式と素因子分解)、1(ユークリッド算法)、練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   実数上の奇数次の任意の多項式は、奇関数なので、

   $-f\left(-x\right)=f\left(x\right)$

   よって、

   $f\left(x\right)>0,f\left(-x\right)<0$

   または

   $f\left(x\right)<0,f\left(-x\right)>0$

   よって、 中間値の定理より、

   $\begin{array}{l}f\left(c\right)=0\\ -x<c<x\vee x<c<-x\end{array}$

   を満たす c が存在するので、 実数根をもつ。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, plot
import random

print('3.')

x = symbols('x', real=True)
fs = [sum([random.choice([-1, 1]) * random.randrange(1, 5) * x ** i
           for i in range(k + 1)])
      for k in range(1, 10, 2)]
for f in fs:
    for o in [f, solve(f, x)]:
        pprint(o)
        print()

p = plot(*fs,
         ylim=(-10, 10),
         show=False,
         legend=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
4⋅x + 3

[-3/4]

 3      2        
x  - 3⋅x  + x + 3

⎡                                  ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞ 3 ____________      ⎛  1   √3⋅
⎢                                  ⎜- ─ - ────⎟⋅╲╱ 3⋅√57 + 27       ⎜- ─ + ───
⎢                 2                ⎝  2    2  ⎠                     ⎝  2    2 
⎢1 - ─────────────────────────── - ───────────────────────────, 1 - ──────────
⎢    ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞ 3 ____________                3                             
⎢    ⎜- ─ - ────⎟⋅╲╱ 3⋅√57 + 27                                               
⎣    ⎝  2    2  ⎠                                                             

ⅈ⎞ 3 ____________                                                             
─⎟⋅╲╱ 3⋅√57 + 27                                   3 ____________             
 ⎠                               2                 ╲╱ 3⋅√57 + 27          2   
───────────────── - ───────────────────────────, - ────────────── - ──────────
   3                ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞ 3 ____________          3          3 ________
                    ⎜- ─ + ────⎟⋅╲╱ 3⋅√57 + 27                      ╲╱ 3⋅√57 +
                    ⎝  2    2  ⎠                                              

        ⎤
        ⎥
        ⎥
──── + 1⎥
____    ⎥
 27     ⎥
        ⎦

     5      4    3      2        
- 2⋅x  + 4⋅x  - x  + 4⋅x  - x + 1

⎡       ⎛   5      4    3      2           ⎞⎤
⎣CRootOf⎝2⋅x  - 4⋅x  + x  - 4⋅x  + x - 1, 0⎠⎦

   7      6      5    4      3    2        
3⋅x  - 4⋅x  - 4⋅x  + x  + 4⋅x  - x  + x - 3

⎡       ⎛   7      6      5    4      3    2           ⎞⎤
⎣CRootOf⎝3⋅x  - 4⋅x  - 4⋅x  + x  + 4⋅x  - x  + x - 3, 0⎠⎦

     9      8      7      6      5      4    3      2          
- 3⋅x  - 4⋅x  - 3⋅x  + 4⋅x  - 2⋅x  - 3⋅x  + x  - 4⋅x  - 3⋅x + 2

⎡       ⎛   9      8      7      6      5      4    3      2             ⎞⎤
⎣CRootOf⎝3⋅x  + 4⋅x  + 3⋅x  - 4⋅x  + 2⋅x  + 3⋅x  - x  + 4⋅x  + 3⋅x - 2, 0⎠⎦


C:\Users\...>