数学 - Python - 線形代数学 - 多項式と行列 - 特性多項式 - 三角行列、固有値

学習環境

ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の9章(多項式と行列)、4(特性多項式)、練習問題2の解答を求めてみる。

特性多項式。

$\prod_{i = 1}^{n} (t - a_{i i})$

固有値。

$\begin{array}{l} a_{i i} \\ (i = 1, \dots, n) \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('2.')

n = 4


def f(i, j):
    if i >= j:
        return symbols(f'a{i}{j}')
    return 0


def g(i, j):
    if i == j:
        return 1
    return 0


t = symbols('t')
A = Matrix([[f(i, j) for j in range(1, n + 1)]
            for i in range(1, n + 1)])
I = Matrix([[g(i, j) for j in range(1, n + 1)]
            for i in range(1, n + 1)])
for o in [A, t * I - A, (t * I - A).det().factor()]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
⎡a₁₁   0    0    0 ⎤
⎢                  ⎥
⎢a₂₁  a₂₂   0    0 ⎥
⎢                  ⎥
⎢a₃₁  a₃₂  a₃₃   0 ⎥
⎢                  ⎥
⎣a₄₁  a₄₂  a₄₃  a₄₄⎦

⎡-a₁₁ + t     0         0         0    ⎤
⎢                                      ⎥
⎢  -a₂₁    -a₂₂ + t     0         0    ⎥
⎢                                      ⎥
⎢  -a₃₁      -a₃₂    -a₃₃ + t     0    ⎥
⎢                                      ⎥
⎣  -a₄₁      -a₄₂      -a₄₃    -a₄₄ + t⎦

(-a₁₁ + t)⋅(-a₂₂ + t)⋅(-a₃₃ + t)⋅(-a₄₄ + t)


C:\Users\...>

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2019年8月13日火曜日

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