## 2019年8月29日木曜日

### 数学 - Python - 微分積分学 - 微分法 - 累乗根(平方根)、接線、法線、傾き、垂直、原点

1. $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\sqrt{1-{x}^{2}}\\ =\frac{1}{2\sqrt{1-{x}^{2}}}·\left(-2x\right)\\ =-\frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}}\end{array}$

求めるグラフの接線の方程式は、

$\begin{array}{l}y-\sqrt{1-{c}^{2}}=-\frac{c}{\sqrt{1-{c}^{2}}}\left(x-c\right)\\ \sqrt{1-{c}^{2}}y-\left(1-{c}^{2}\right)=-cx+{c}^{2}\\ cx+\sqrt{1+{c}^{2}}y-1=0\end{array}$

法線の方程式は、

$\begin{array}{l}y-\sqrt{1-{c}^{2}}=\frac{\sqrt{1-{c}^{2}}}{c}\left(x-c\right)\\ \frac{\sqrt{1-{c}^{2}}}{c}x-y=0\end{array}$

よって、法線は原点を通る。

（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, sqrt, plot

print('19.')

x, c = symbols('x, c', real=True)
f = sqrt(1 - x ** 2)
d = Derivative(f, x, 1)
m = d.doit()
g = m.subs({x: c}) * (x - c) + f.subs({x: c})
h = -1 / m.subs({x: c}) * (x - c) + f.subs({x: c})
for o in [d, m, g]:
pprint(o)
print()
cs = [-0.9, -0.1, 0, 0.1, 0.9]
p = plot(f,
*[g.subs({c: c0}) for c0 in cs],
*[h.subs({c: c0}) for c0 in cs],
(x, -0.99999, 0.99999), ylim=(-1, 1), legend=False, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
o.line_color = color

p.show()
p.save('sample19.png')


C:\Users\...>py sample19.py
19.
⎛   ________⎞
d ⎜  ╱      2 ⎟
──⎝╲╱  1 - x  ⎠
dx

-x
───────────
________
╱      2
╲╱  1 - x

________
c⋅(-c + x)     ╱      2
- ─────────── + ╲╱  1 - c
________
╱      2
╲╱  1 - c

c:\Users\...>