数学 - Python - 微分積分学 - 微分法 - 累乗根(平方根)、接線、法線、傾き、垂直、原点

学習環境

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田洋一(著)、筑摩書房)のI.(微分法)、演習問題 I.、19の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{d}{dx} \sqrt{1 - x^{2}} \\ = \frac{1}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} \cdot (- 2 x) \\ = - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \end{array}$
求めるグラフの接線の方程式は、
$\begin{array}{l} y - \sqrt{1 - c^{2}} = - \frac{c}{\sqrt{1 - c^{2}}} (x - c) \\ \sqrt{1 - c^{2}} y - (1 - c^{2}) = - c x + c^{2} \\ c x + \sqrt{1 + c^{2}} y - 1 = 0 \end{array}$
法線の方程式は、
$\begin{array}{l} y - \sqrt{1 - c^{2}} = \frac{\sqrt{1 - c^{2}}}{c} (x - c) \\ \frac{\sqrt{1 - c^{2}}}{c} x - y = 0 \end{array}$
よって、法線は原点を通る。
（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, sqrt, plot

print('19.')

x, c = symbols('x, c', real=True)
f = sqrt(1 - x ** 2)
d = Derivative(f, x, 1)
m = d.doit()
g = m.subs({x: c}) * (x - c) + f.subs({x: c})
h = -1 / m.subs({x: c}) * (x - c) + f.subs({x: c})
for o in [d, m, g]:
    pprint(o)
    print()
cs = [-0.9, -0.1, 0, 0.1, 0.9]
p = plot(f,
         *[g.subs({c: c0}) for c0 in cs],
         *[h.subs({c: c0}) for c0 in cs],
         (x, -0.99999, 0.99999), ylim=(-1, 1), legend=False, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample19.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample19.py
19.
  ⎛   ________⎞
d ⎜  ╱      2 ⎟
──⎝╲╱  1 - x  ⎠
dx             

    -x     
───────────
   ________
  ╱      2 
╲╱  1 - x  

                   ________
   c⋅(-c + x)     ╱      2 
- ─────────── + ╲╱  1 - c  
     ________              
    ╱      2               
  ╲╱  1 - c                


c:\Users\...>

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2019年8月29日木曜日

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