数学 - Python - 解析学 - 級数 - 積分による判定法 - 累乗(べき乗)、逆数、収束

解析入門 原書第3版
原著
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題11を求めてみる。

11. 
    
    $\begin{array}{l}\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\underset{1}{\overset{b}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{1}{x^{1+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}\mathrm{dx}\\ =\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{\left[-\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{x}^{-\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\right]}_1^b\\ =-\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{\left[x^{-\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\right]}_1^b\\ =-\frac{1}{q}\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(b^{-\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}-1\right)\\ =\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\end{array}$

    よって、 問題の無限級数は収束する。

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, Limit, exp
import matplotlib.pyplot as plt

print('11.')

n = symbols('n')
epsilon = symbols('ε', positive=True)
f = 1 / n ** (1 + epsilon)
s = summation(f, (n, 1, oo))
pprint(s)

I = Integral(f, (n, 1, oo))
ratio = f.subs({n: n + 1}) / f
l = Limit(ratio, n, oo, dir='-+')
for o in [I, I.doit(), l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()

d = {epsilon: 0.00001}
p = plot(f.subs(d),
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample11.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}).subs(d) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ 1 / n^(1+ε)'])
plt.savefig('sample11.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample11.py
11.
ζ(ε + 1)
∞           
⌠           
⎮  -ε - 1   
⎮ n       dn
⌡           
1           

1
─
ε

    ⎛ ε + 1        -ε - 1⎞
lim ⎝n     ⋅(n + 1)      ⎠
n─→∞                      

1


c:\Users\...>