数学 - Python - 解析学 - 級数 - 積分による判定法 - 対数関数、累乗(べき乗、平方)、約数、極限、収束

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題12-(a)を求めてみる。

12. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{l}{\int \; <!--\; integral\; -->}_1^b\frac{\log x}{x^2}\mathrm{dx}\\ ={\left[-\frac{1}{x}\log x\right]}_1^b+{\int \; <!--\; integral\; -->}_1^b\frac{1}{x^2}\mathrm{dx}\\ =-\frac{1}{b}\log b+{\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^b\\ =-\frac{\log b}{b}-\frac{1}{b}+1\end{array}$

       よって、

       $\underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\underset{1}{\overset{b}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\log x}{x^2}\mathrm{dx}=1$

       ゆえに問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, log
import matplotlib.pyplot as plt

print('12-(a).')

n = symbols('n')
f = log(n) / n ** 2
s = summation(f, (n, 1, oo))
I = Integral(f, (n, 1, oo))

for o in [s, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f,
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample12.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ log n / n^2'])
plt.savefig('sample12.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample12.py
12-(a).
  ∞         
 ____       
 ╲          
  ╲   log(n)
   ╲  ──────
   ╱     2  
  ╱     n   
 ╱          
 ‾‾‾‾       
n = 1       

∞          
⌠          
⎮ log(n)   
⎮ ────── dn
⎮    2     
⎮   n      
⌡          
1          

1


c:\Users\...>