2019年8月25日日曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題12-(c)を求めてみる。



    1. lim b 1 b log x x 1 + ε dx = lim b - 1 ε x - ε log x 1 b + 1 ε 1 b x - ε · x - 1 dx = 1 ε lim b - b - ε log b + 1 b x - ε - 1 dx = 1 ε lim b - b - ε log b + - 1 ε x - ε 1 b = 1 ε lim b - log b b ε - 1 ε b - ε - 1 = 1 ε lim b - log b b ε - 1 ε 1 b ε - 1 = 1 ε · 1 ε = 1 ε 2

      よって、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, log
from sympy import Rational
import matplotlib.pyplot as plt

print('12-(c).')

n = symbols('n')
epsilon = symbols('ε', positive=True)
f = log(n) / n ** (1 + epsilon)
s = summation(f, (n, 1, oo))
I = Integral(f, (n, 1, oo))

for o in [s, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

d = {epsilon: 0.00001}
p = plot(f.subs(d),
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample12.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}).subs(d) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ log n / n^(1 + ε)'])
plt.savefig('sample12.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample12.py
12-(c).
  ∞                 
 ___                
 ╲                  
  ╲    -ε - 1       
  ╱   n      ⋅log(n)
 ╱                  
 ‾‾‾                
n = 1               

∞                  
⌠                  
⎮  -ε - 1          
⎮ n      ⋅log(n) dn
⌡                  
1                  

1 
──
 2
ε 


c:\Users\...>

0 コメント:

コメントを投稿

関連コンテンツ