数学 - Python - 解析学 - 級数 - 積分による判定法 - 対数関数、累乗(べき乗)、1より大きい場合、逆数、極限、収束

解析入門 原書第3版
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題12-(c)を求めてみる。

12. 
    
    3. 
       
       $\begin{array}{l}\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\underset{1}{\overset{b}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\log x}{x^{1+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}\mathrm{dx}\\ =\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left({\left[-\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{x}^{-\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\log x\right]}_1^b+\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\underset{1}{\overset{b}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{x}^{-\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->x^{-1}\mathrm{dx}\right)\\ =\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(-b^{-\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\log b+\underset{1}{\overset{b}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{x}^{-\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}-1}\mathrm{dx}\right)\\ =\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(-b^{-\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\log b+{\left[-\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{x}^{-\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\right]}_1^b\right)\\ =\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(-\frac{\log b}{b^{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}-\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\left(b^{-\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}-1\right)\right)\\ =\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(-\frac{\log b}{b^{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}-\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\left(\frac{1}{b^{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}-1\right)\right)\\ =\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\\ =\frac{1}{{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}^2}\end{array}$

       よって、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, log
from sympy import Rational
import matplotlib.pyplot as plt

print('12-(c).')

n = symbols('n')
epsilon = symbols('ε', positive=True)
f = log(n) / n ** (1 + epsilon)
s = summation(f, (n, 1, oo))
I = Integral(f, (n, 1, oo))

for o in [s, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

d = {epsilon: 0.00001}
p = plot(f.subs(d),
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample12.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}).subs(d) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ log n / n^(1 + ε)'])
plt.savefig('sample12.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample12.py
12-(c).
  ∞                 
 ___                
 ╲                  
  ╲    -ε - 1       
  ╱   n      ⋅log(n)
 ╱                  
 ‾‾‾                
n = 1               

∞                  
⌠                  
⎮  -ε - 1          
⎮ n      ⋅log(n) dn
⌡                  
1                  

1 
──
 2
ε 


c:\Users\...>