数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 3次関数、発散

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題11を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \\ = \frac{n + 1}{(4 (n + 1) - 1) ((n + 1) + 15)} \frac{(4 n - 1) (n + 15)}{n} \\ = \frac{(n + 1) (4 n - 1) (n + 15)}{n (4 n + 3) (n + 16)} \\ = \frac{(1 + \frac{1}{n}) (4 - \frac{1}{n}) (1 + \frac{15}{n})}{(4 + \frac{3}{n}) (1 + \frac{16}{n})} \end{array}$

よって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1$

ゆえに、

$\begin{array}{l} 0 < c < 1 \\ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < c \end{array}$

を満たす c は存在しないので、問題の無限級数は発散する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, sqrt, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('11.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(n / ((4 * n - 1) * (n + 15)), (n, 1, oo))
l = Limit((n + 1) / ((4 * (n + 1) - 1) * ((n + 1) + 15)) *
          (4 * n - 1) * (n + 15) / n, n, oo)
for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([k / ((4 * k - 1) * (k + 15)) for k in range(1, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [(n + 1) / ((4 * (n + 1) - 1) * ((n + 1) + 15)) *
              (4 * n - 1) * (n + 15) / n for n in ns],
         ns, [1 for _ in ns])

plt.legend(['Σ n / (4n - 1)(n + 15)', 'an+1 / an', 1])
plt.savefig('sample11.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample11.py
11.
∞

    ⎛(n + 1)⋅(n + 15)⋅(4⋅n - 1)⎞
lim ⎜──────────────────────────⎟
n─→∞⎝   n⋅(n + 16)⋅(4⋅n + 3)   ⎠

1


c:\Users\...>

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2019年8月3日土曜日

数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 3次関数、発散

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