数学 - Python - 解析学 - 級数 - 積分による判定法 - 対数関数、累乗(べき乗、立方)、逆数

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題4を求めてみる。

4. 
   
   $\begin{array}{l}{\int \; <!--\; integral\; -->}_2^b\frac{1}{x{\left(\log x\right)}^3}\mathrm{dx}\\ ={\left[\left(\log x\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{{\left(\log x\right)}^3}\right]}_2^b-{\int \; <!--\; integral\; -->}_2^b\left(\log x\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{-3{\left(\log x\right)}^2}{{\left(\log x\right)}^6}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{x}\mathrm{dx}\\ ={\left[\frac{1}{{\left(\log x\right)}^2}\right]}_2^b+3{\int \; <!--\; integral\; -->}_2^b\frac{1}{x{\left(\log x\right)}^3}\mathrm{dx}\\ {\int \; <!--\; integral\; -->}_2^b\frac{1}{x{\left(\log x\right)}^3}\mathrm{dx}=-\frac{1}{2}{\left[\frac{1}{{\left(\log x\right)}^2}\right]}_2^b\\ =-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{{\left(\log b\right)}^2}-\frac{1}{{\left(\log 2\right)}^2}\right)\\ b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{{\left(\log 2\right)}^2}\right)=\frac{1}{2{\left(\log 2\right)}^2}\end{array}$

   よって、問題の級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, log, Integral, plot
import matplotlib.pyplot as plt

print('4.')

n = symbols('n', integer=True)
f = 1 / (n * log(n) ** 3)
s = summation(f, (n, 2, oo))
pprint(s)

I = Integral(f, (n, 2, oo))
for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f,
         (n, 2, 12),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample4.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}) for k in range(2, m)])


ms = range(2, 12)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ 1 / n(log n)^3'])
plt.savefig('sample4.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
  ∞            
 ____          
 ╲             
  ╲       1    
   ╲  ─────────
   ╱       3   
  ╱   n⋅log (n)
 ╱             
 ‾‾‾‾          
n = 2          
∞             
⌠             
⎮     1       
⎮ ───────── dn
⎮      3      
⎮ n⋅log (n)   
⌡             
2             

    1    
─────────
     2   
2⋅log (2)


c:\Users\...>