数学 - Python - 線形代数学 - 行列と双線形写像 - 双1次形式 - 双線形形式、標準基底、対応する行列、非対称、実3次、ベクトル空間

ラング線形代数学(下)
原著
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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の8章(行列と双線形写像)、8(双1次形式)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   

   求める X、 Y の1つの例は、

   $\begin{array}{l}X=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\\ Y=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\end{array}$

   確認。

   $\begin{array}{l}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->X,Y⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =X^{T}CY\\ =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\\ =2\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->Y,X⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =Y^{T}CX\\ =\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\\ =-1\end{array}$

   よって、

   $⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->X,Y⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->Y,X⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('1.')

C = Matrix([[1, 2, 3],
            [-1, 1, 1],
            [1, 0, 1]])


def g(x, y):
    return x.T * C * y


x = Matrix([1, 0, 0]).reshape(3, 1)
y = Matrix([0, 1, 0]).reshape(3, 1)

for o in [x, y, g(x, y), g(y, x), g(x, y) != g(y, x)]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
⎡1⎤
⎢ ⎥
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎣0⎦

⎡0⎤
⎢ ⎥
⎢1⎥
⎢ ⎥
⎣0⎦

[2]

[-1]

True


C:\Users\...>