数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 対数関数・指数関数 - 指数関数、対数関数、ニュートン商、極限、微分

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.1(対数関数・指数関数)、問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{l}\underset{h\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{{\log }_a\left(1+h\right)}{h}\\ =\underset{h\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{1}{\log a}\frac{\log \left(1+h\right)}{h}\\ =\frac{1}{\log a}\underset{h\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{\log \left(1+h\right)-\log 1}{h}\\ =\frac{1}{\log a}\frac{1}{1}\\ =\frac{1}{\log a}\end{array}$
    2. 
       
       $\begin{array}{l}\underset{h\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}\\ =\underset{h\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{a^{0+h}-a^0}{h}\\ =a^0\log a\\ =\log a\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit, log, oo, exp

print('10.')

a, h = symbols('a, h')
fs = [log(1 + h, a) / h,
      (exp(h * log(a)) - 1) / h]

for i, f in enumerate(fs, 1):
    print(f'({i})')
    for d in ['+', '-']:
        l = Limit(f, h, 0, dir=d)
        for o in [l, l.doit()]:
            pprint(o)
            print()

nums = [0.5, 1.5]
p = plot(*[f.subs({a: a0})
           for f in fs + [1 / log(a), log(a)]
           for a0 in nums],
         (h, -0.5, 0.5),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample10.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample10.py
10.
(1)
     ⎛log(h + 1)⎞
 lim ⎜──────────⎟
h─→0⁺⎝ h⋅log(a) ⎠

  1   
──────
log(a)

     ⎛log(h + 1)⎞
 lim ⎜──────────⎟
h─→0⁻⎝ h⋅log(a) ⎠

  1   
──────
log(a)

(2)
     ⎛ h⋅log(a)    ⎞
     ⎜ℯ         - 1⎟
 lim ⎜─────────────⎟
h─→0⁺⎝      h      ⎠

log(a)

     ⎛ h⋅log(a)    ⎞
     ⎜ℯ         - 1⎟
 lim ⎜─────────────⎟
h─→0⁻⎝      h      ⎠

log(a)


C:\Users\...>