数学 - Python - 解析学 - 微分法 - 関数の凹凸 - 3次関数の変曲点の個数

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.3(関数の凹凸)、問題2の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} f' (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b \\ f'' (x) = 6 x + 2 a \\ 6 x + 2 a = 0 \\ x = \frac{1}{3} a \end{array}$

よって、任意の3次関数はただ1つの変曲点をもつ。

（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, plot, Derivative
import random

print('2.')
x = symbols('x')
a = []
n = 5
for _ in range(n):
    while True:
        r = random.randrange(-5, 6)
        if r != 0:
            a.append(r)
            break
fs = [sum([a[i] * x ** 3] + [x ** k for k in range(3)])
      for i in range(n)]

for f in fs:
    d = Derivative(f, x, 2)
    for o in [d, d.doit(), solve(d.doit(), x)]:
        pprint(o)
        print()
ds = [Derivative(f, x, 2).doit() for f in fs]
p = plot(*fs, *ds,
         (x, -10, 10),
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample2.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
  2                     
 d ⎛     3    2        ⎞
───⎝- 3⋅x  + x  + x + 1⎠
  2                     
dx                      

2⋅(1 - 9⋅x)

[1/9]

  2                   
 d ⎛   3    2        ⎞
───⎝- x  + x  + x + 1⎠
  2                   
dx                    

2⋅(1 - 3⋅x)

[1/3]

  2                   
 d ⎛   3    2        ⎞
───⎝- x  + x  + x + 1⎠
  2                   
dx                    

2⋅(1 - 3⋅x)

[1/3]

  2                   
 d ⎛   3    2        ⎞
───⎝5⋅x  + x  + x + 1⎠
  2                   
dx                    

2⋅(15⋅x + 1)

[-1/15]

  2                   
 d ⎛   3    2        ⎞
───⎝5⋅x  + x  + x + 1⎠
  2                   
dx                    

2⋅(15⋅x + 1)

[-1/15]


C:\Users\...>

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2019年7月5日金曜日

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