2019年6月23日日曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題4の解答を求めてみる。


  1. 直交化、直交基底。

    u = f t = t v = g t - g , f f , f f t g , f = 0 1 g t f t dt = 0 1 t 2 · t dt = 1 4 t 4 0 1 = 1 4 f , f = 0 1 f t f t dt = 0 1 t 2 dt = 1 3 v = t 2 - 3 4 t

    正規化、正規直交基底。

    u u = t f , f = 3 t v v = v v , v v , v = 0 1 t 2 - 3 4 t 2 dt = 0 1 t 4 - 3 2 t 3 + 9 16 t 2 dt = 1 5 - 3 2 · 1 4 + 9 16 · 1 3 = 1 5 - 3 8 + 3 16 = 16 - 30 + 15 80 = 1 80 v v = 80 t 2 - 3 4 t = 4 5 t 2 - 3 4 t = 4 5 t 2 - 3 5 t 3 t , 4 5 t 2 - 3 5 t

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Integral, sqrt

print('4.')

t = symbols('t')


def scalar_mul(f, g):
    return Integral(f * g, (t, 0, 1)).doit()


def norm(f):
    return sqrt(scalar_mul(f, f))


f = t
g = t ** 2

u = f / norm(f)
v = g - scalar_mul(g, u) / scalar_mul(u, u) * u
v = v / norm(v)

for o in [u, v]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, g, u, v, ylim=(-10, 10), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample4.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
√3⋅t

     ⎛ 2   3⋅t⎞
4⋅√5⋅⎜t  - ───⎟
     ⎝      4 ⎠


C:\Users\...>

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