数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 対角行列、直交補空間、次元、行列の積、トレース(対角要素の和)、零

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題8の解答を求めてみる。

8. 
   

   問題より、スカラー積は退化していないから、だめな対角行列のなす部分空間の直交補空間は、

   $\begin{array}{l}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{ki}\right)\right)\\ =\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ii}{b}_{ii}\right)\end{array}$

   から分かるように、対角のすべてが0の行列すべての集合。

   次元は、

   $n^2-n$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('8.')

n = 4


def f(i, j):
    if i == j:
        return symbols(f'a{i + 1}{j + 1}')
    return 0


A = Matrix([[f(i, j) for j in range(n)]
            for i in range(n)])
B = Matrix([[symbols(f'b{i + 1}{j + 1}') for j in range(n)]
            for i in range(n)])

for o in [A, B]:
    pprint(o)
    print()

pprint(solve((A * B).trace(), B))

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample7.py
8.
⎡a₁₁   0    0    0 ⎤
⎢                  ⎥
⎢ 0   a₂₂   0    0 ⎥
⎢                  ⎥
⎢ 0    0   a₃₃   0 ⎥
⎢                  ⎥
⎣ 0    0    0   a₄₄⎦

⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃  b₁₄⎤
⎢                  ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃  b₂₄⎥
⎢                  ⎥
⎢b₃₁  b₃₂  b₃₃  b₃₄⎥
⎢                  ⎥
⎣b₄₁  b₄₂  b₄₃  b₄₄⎦

⎡⎛-(a₂₂⋅b₂₂ + a₃₃⋅b₃₃ + a₄₄⋅b₄₄)                                              
⎢⎜───────────────────────────────, b₁₂, b₁₃, b₁₄, b₂₁, b₂₂, b₂₃, b₂₄, b₃₁, b₃₂
⎣⎝              a₁₁                                                           

                              ⎞⎤
, b₃₃, b₃₄, b₄₁, b₄₂, b₄₃, b₄₄⎟⎥
                              ⎠⎦

C:\Users\...>