数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 積分によるスカラー積の定義

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   可換であることについて。

   $\begin{array}{l}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->f,g⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f\left(t\right)g\left(t\right)\mathrm{dt}\\ =\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}g\left(t\right)f\left(t\right)\mathrm{dt}\\ =⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->g,f⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\end{array}$

   分配について。

   $\begin{array}{l}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->f,g+h⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f\left(t\right)\left(g\left(t\right)+h\left(t\right)\right)\mathrm{dt}\\ =\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f\left(t\right)g\left(t\right)\mathrm{dt}+\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f\left(t\right)h\left(t\right)\mathrm{dt}\\ =⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->f,g⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->+⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->f,h⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\end{array}$

   スカラ一倍について。

   $\begin{array}{l}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->xf,g⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{1}xf\left(t\right)g\left(t\right)\mathrm{dt}\\ =x{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{1}f\left(t\right)g\left(t\right)\mathrm{dt}\\ =x⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->f,g⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->f,xg⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{1}f\left(t\right)xg\left(t\right)\mathrm{dt}\\ =x\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f\left(t\right)g\left(t\right)\mathrm{dt}\\ =x⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->f,g⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\end{array}$

   よって、 問題の積分で定義された規則はスカラー積である。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Integral

print('3.')

x = symbols('x')
f = 2 * x + 1
g = -x ** 2 + 1
h = f * g
i = Integral(f * g, x, (x, 0, 1)).doit()
fs = [f, g, h, i]
for f in fs:
    pprint(f)
    print()

p = plot(*fs, ylim=(-10, 10), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
2⋅x + 1

     2
1 - x 

⎛     2⎞          
⎝1 - x ⎠⋅(2⋅x + 1)

13
──
20


C:\Users\...>