2019年6月25日火曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題6の解答を求めてみる。



    1. 直交化、直交基底。

      u = 1 , i , 0 v = 1 , 1 , 1 - 1 , 1 , 1 · 1 , i , 0 - 1 , i , 0 · 1 , i , 0 - 1 , i , 0 = 1 , 1 , 1 - 1 , 1 , 1 · 1 , - i , 0 1 , i , 0 · 1 , - i , 0 1 , i , 0 = 1 , 1 , 1 - 1 - i 1 + 1 1 , i , 0 = 1 2 1 + i , 1 - i , 2

      正規化、正規直交基底。

      u u = 1 , i , 0 1 , i , 0 · 1 , i , 0 - = 1 2 1 , i , 0 v v = 1 2 1 + i , 1 - i , 2 1 2 1 + i , 1 - i , 2 · 1 + i , 1 - i , 2 - = 1 + i , 1 - i , 2 1 + i , 1 - i , 2 · 1 - i , 1 + i , 2 = 1 + i , 1 - i , 2 1 + 1 + 1 + 1 + 4 = 1 2 2 1 + i , 1 - i , 2 1 2 1 , i , 0 , 1 2 2 1 + i , 1 - i , 2

    2. 直交化、直交基底。

      u = 1 , - 1 , - i v = i , 1 , 2 - i , 1 , 2 · 1 , - 1 , - i - 1 , - 1 , - i · 1 , - 1 , - i - 1 , - 1 , - i = i , 1 , 2 - i , 1 , 2 · 1 , - 1 , i 1 , - 1 , - i · 1 , - 1 , i 1 , - 1 , - i = i , 1 , 2 - i - 1 + 2 i 1 + 1 + 1 1 , - 1 , - i = i , 1 , 2 - - 1 + 3 i 3 1 , - 1 , - i = 1 3 3 i , 3 , 6 - 1 3 - 1 + 3 i , 1 - 3 i , 3 + i = 1 3 1 , 2 + 3 i , 3 - i

      正規化、正規直交基底。

      u u = 1 , - 1 , - i 1 , - 1 , - i · 1 , - 1 , i = 1 , - 1 , - i 1 + 1 + 1 = 1 3 1 , - 1 , - i v v = 1 , 2 + 3 i , 3 - i 1 + 4 + 9 + 9 + 1 = 1 24 9 , 2 + 3 i , 3 - i = 1 2 6 1 , 2 + 3 i , 3 - i 1 3 1 , - 1 , - i , 1 2 6 1 , 2 + 3 i , 3 - i

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('6.')

ts = [((1, I, 0), (1, 1, 1)),
      ((1, -1, -I), (I, 1, 2))]

for i, (u, v) in enumerate(ts):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    u = Matrix(u)
    v = Matrix(v)
    v = v - v.dot(u.conjugate()) / u.dot(u.conjugate()) * u
    u = u / u.norm()
    v = v / v.norm()
    for o in [u, v]:
        pprint(o.transpose().expand())
        print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample6.py
6.
(a)
⎡√2  √2⋅ⅈ   ⎤
⎢──  ────  0⎥
⎣2    2     ⎦

⎡√2   √2⋅ⅈ  √2   √2⋅ⅈ  √2⎤
⎢── + ────  ── - ────  ──⎥
⎣4     4    4     4    2 ⎦

(b)
⎡√3  -√3   -√3⋅ⅈ ⎤
⎢──  ────  ──────⎥
⎣3    3      3   ⎦

⎡√6  √6   √6⋅ⅈ  √6   √6⋅ⅈ⎤
⎢──  ── + ────  ── - ────⎥
⎣12  6     4    4     12 ⎦


C:\Users\...>

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