数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 複素数、3次元、ベクトル空間、部分空間、共役、エルミート積、ノルム、正規直交基底

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   1. 
      

      直交化、直交基底。

      $\begin{array}{l}u=\left(1,i,0\right)\\ v=\left(1,1,1\right)-\frac{\left(1,1,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\stackrel{-}{\left(1,i,0\right)}}{\left(1,i,0\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\stackrel{-}{\left(1,i,0\right)}}\left(1,i,0\right)\\ =\left(1,1,1\right)-\frac{\left(1,1,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,-i,0\right)}{\left(1,i,0\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,-i,0\right)}\left(1,i,0\right)\\ =\left(1,1,1\right)-\frac{1-i}{1+1}\left(1,i,0\right)\\ =\frac{1}{2}\left(1+i,1-i,2\right)\end{array}$

      正規化、正規直交基底。

      $\begin{array}{l}\frac{u}{∥u∥}\\ =\frac{\left(1,i,0\right)}{\sqrt{\left(1,i,0\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\stackrel{-}{\left(1,i,0\right)}}}\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1,i,0\right)\\ \frac{v}{∥v∥}\\ =\frac{\frac{1}{2}\left(1+i,1-i,2\right)}{\frac{1}{2}\sqrt{\left(1+i,1-i,2\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\stackrel{-}{\left(1+i,1-i,2\right)}}}\\ =\frac{\left(1+i,1-i,2\right)}{\sqrt{\left(1+i,1-i,2\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1-i,1+i,2\right)}}\\ =\frac{\left(1+i,1-i,2\right)}{\sqrt{1+1+1+1+4}}\\ =\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(1+i,1-i,2\right)\\ \left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1,i,0\right),\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(1+i,1-i,2\right)\right\}\end{array}$
   2. 
      

      直交化、直交基底。

      $\begin{array}{l}u=\left(1,-1,-i\right)\\ v=\left(i,1,2\right)-\frac{\left(i,1,2\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\stackrel{-}{\left(1,-1,-i\right)}}{\left(1,-1,-i\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\stackrel{-}{\left(1,-1,-i\right)}}\left(1,-1,-i\right)\\ =\left(i,1,2\right)-\frac{\left(i,1,2\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,-1,i\right)}{\left(1,-1,-i\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,-1,i\right)}\left(1,-1,-i\right)\\ =\left(i,1,2\right)-\frac{i-1+2i}{1+1+1}\left(1,-1,-i\right)\\ =\left(i,1,2\right)-\frac{-1+3i}{3}\left(1,-1,-i\right)\\ =\frac{1}{3}\left(3i,3,6\right)-\frac{1}{3}\left(-1+3i,1-3i,3+i\right)\\ =\frac{1}{3}\left(1,2+3i,3-i\right)\end{array}$

      正規化、正規直交基底。

      $\begin{array}{l}\frac{u}{∥u∥}\\ =\frac{\left(1,-1,-i\right)}{\sqrt{\left(1,-1,-i\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,-1,i\right)}}\\ =\frac{\left(1,-1,-i\right)}{\sqrt{1+1+1}}\\ =\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1,-1,-i\right)\\ \frac{v}{∥v∥}\\ =\frac{\left(1,2+3i,3-i\right)}{\sqrt{1+4+9+9+1}}\\ =\frac{1}{\sqrt{24}}\left(9,2+3i,3-i\right)\\ =\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(1,2+3i,3-i\right)\\ \left\{\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1,-1,-i\right),\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(1,2+3i,3-i\right)\right\}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('6.')

ts = [((1, I, 0), (1, 1, 1)),
      ((1, -1, -I), (I, 1, 2))]

for i, (u, v) in enumerate(ts):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    u = Matrix(u)
    v = Matrix(v)
    v = v - v.dot(u.conjugate()) / u.dot(u.conjugate()) * u
    u = u / u.norm()
    v = v / v.norm()
    for o in [u, v]:
        pprint(o.transpose().expand())
        print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample6.py
6.
(a)
⎡√2  √2⋅ⅈ   ⎤
⎢──  ────  0⎥
⎣2    2     ⎦

⎡√2   √2⋅ⅈ  √2   √2⋅ⅈ  √2⎤
⎢── + ────  ── - ────  ──⎥
⎣4     4    4     4    2 ⎦

(b)
⎡√3  -√3   -√3⋅ⅈ ⎤
⎢──  ────  ──────⎥
⎣3    3      3   ⎦

⎡√6  √6   √6⋅ⅈ  √6   √6⋅ⅈ⎤
⎢──  ── + ────  ── - ────⎥
⎣12  6     4    4     12 ⎦


C:\Users\...>