数学 - Python - 線形代数学 - 行列式 - 行列の逆転(行列の積の行列式と行列式の積、零、逆行列を持たない場合、背理法)

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(行列式)、9(行列の逆転)、練習問題2の解答を求めてみる。

$D (A) = 0$

のとき、 A が逆行列をもつと仮定すると、

$\begin{array}{l} 1 \\ = \det (I_{n}) \\ = \det (I_{n} I_{n}) \\ = \det (A A^{- 1} I_{n}) \\ = \det A \det A^{- 1} \det I_{n} \\ = 0 \end{array}$

よって矛盾。

ゆえに A は逆行列をもたない。

（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, Matrix, symbols

print('2.')

A = Matrix([0, 0, 0, 0] + [symbols(f'a{i}{j}') for j in range(1, 5)
                           for i in range(2, 5)]).reshape(4, 4)

for o in [A, A.det()]:
    pprint(o)
    print()

try:
    pprint(A ** -1)
except ValueError as err:
    print(err)

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
⎡ 0    0    0    0 ⎤
⎢                  ⎥
⎢a₂₁  a₃₁  a₄₁  a₂₂⎥
⎢                  ⎥
⎢a₃₂  a₄₂  a₂₃  a₃₃⎥
⎢                  ⎥
⎣a₄₃  a₂₄  a₃₄  a₄₄⎦

0

Matrix det == 0; not invertible.

C:\Users\...>

Kamimura's blog

2019年6月11日火曜日

数学 - Python - 線形代数学 - 行列式 - 行列の逆転(行列の積の行列式と行列式の積、零、逆行列を持たない場合、背理法)

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